Qual a forma da Matemática?

...matemática hoje em dia é denominada de monstro por seu efeito teórico na sala de aula.Nada a ver com sua forma algébrica clássica e harmónica...

Nova Matematica

A concepção do ensino da matemática que pode ser adquirida a partir destes documentos é aquela em que os alunos participem de atividades intencionais que crescem para fora de situações-problema, que exige raciocínio e pensamento criativo, o recolhimento e a aplicação da informação, descobrir, inventar, comunicar idéias e testar os idéias através de uma reflexão crítica e de argumentação.Este ponto de vista do ensino da Matemática está em nítido contraste com visões alternativas em que o domínio de conceitos e procedimentos é o objetivo final da instrução.

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Reflexões Sobre as Possíveis Causas do Fracasso Escolar em Matemática

Reflexões Sobre as Possíveis Causas do Fracasso Escolar em Matemática Autor: Silvio Gomes Bispo Data: 20/08/2008

O Ensino de Matemática passa por mudanças em todos os documentos oficiais. Apesar das indicações legais, na prática de muitos professores é um trabalho na perspectiva de exposição, exercícios e provas, perdendo a definição das palavras que compõem "matemática": MATHEMA - pensar e TICA - técnica. Logo, etimologicamente, ensinar Matemática significa ensinar a pensar. Porém, o que vemos é bem diferente e este tipo de ensino - sem pensamento ou sem reflexão - está levando ao fracasso escolar continuado. Sabe-se que na escola ensinar matemática ocupa um espaço significativo na formação dos alunos de 1ª a 4ª série, pois cerca de 20% do currículo escolar são utilizados na aprendizagem de matemática. Entretanto, os resultados daí obtidos são bastante ruins. Além disso, o componente curricular matemática é capaz de significar grande incidência de reprovação e de abandono da escola. Essas informações refletem a quem tem servido o tipo de ensino usual de matemática e, logicamente, os resultados insatisfatórios dos alunos. Procurando refletir sobre o processo ensino-aprendizagem de Matemática, trataremos das metodologias de ensino propostas e com freqüência adotadas em grande parte das escolas públicas. MATEMÁTICA TRADICIONAL Sabe-se que os pensadores matemáticos da Grécia Antiga faziam parte de uma elite forte e de uma hierarquia em que a democracia era privilégio de poucos, uma vez que mulheres e escravos eram tratados como sub-raça, como cita Machado (1987:11): ...Na sociedade grega o trabalho dos escravos fácil de se obter e cujo rendimento não importava melhorar por meio de aperfeiçoamentos técnicos, permitia à elite dirigente um alheamento da realidade concreta. Esta estrutura social imprimiu um caráter original à matemática grega, onde acentuado era o desdém pelas aplicações práticas. [Grifos meus] Nessa concepção inicial de ensino de matemática, esta ciência era tratada como um conhecimento racional dedutivo e demonstrativo, sendo capaz de mostrar que a verdade é necessária e universal em seus enunciados e resultados não deixando dúvidas. Tinha como princípios as definições, os postulados e as noções comuns (axiomas). Porém, os primeiros indícios da construção do conhecimento matemático de uma forma experimental ocorreram com os povos egípcios (2500 até 320 a.C.) e babilônicos (1800 até 600 a.C.). Esses povos usavam a matemática para resolução de problemas práticos geralmente ligados ao comércio, ao cálculo de impostos, à construção de casas. Essa divergência conceitual levou nesta época a dividir a matemática em dois estilos, uma matemática formal e outra matemática utilitária. D' Ambrósio (1996) explicita essa divisão ao referir-se que Platão distinguia claramente uma matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, mas não para intelectuais, para quem defendia uma matemática abstrata, fundamental para aqueles que seriam os dirigentes, a elite. Este tipo de visão da matemática que implica um ensino abstrato sem vinculação com o cotidiano, que acredita numa ciência de especulação intelectual, não mantendo qualquer ligação com o cotidiano, sendo desenvolvida apenas por um pensamento idealista, se apresenta na prática de muitos professores. É justamente essa a visão que leva muitos alunos ao fracasso escolar. Além desta forma de conceber o ensino de matemática que se apresenta dominante, temos ainda como agravante da situação de ineficiência do ensino e da aprendizagem desta ciência, a falta de preparo dos professores que utilizam grande autoritarismo e dogmatismo para impor sua visão, proporcionando às pessoas aversão por esta disciplina. Lima (1995:4) considera que tal situação advém do fato de o aluno passar os anos escolares nas mãos de professores incapazes que muitas vezes usam a arrogância, a ironia e a humilhação como disfarces para sua ignorância e com isso provocam a aversão à matéria que deviam ensinar. Como esta prática está arraigada na forma de professores apresentarem conteúdos matemáticos, criam-se ressentimentos, como no caso de o professor solicitar aos alunos que prestem atenção para raciocinarem juntos, porém faz todos os procedimentos que os alunos devem adotar e oferece as respostas antes dos alunos começarem a pensar. Para justificar posturas como essas, os professores dizem, com freqüência, que os alunos das escolas públicas por serem pobres não têm condições de aprender. Além disso, os professores costumam apresentar procedimentos didáticos como o seguinte: numa postura mecânica e autoritária supõem "dar" o conhecimento matemático aos alunos numa relação centrada em si ou na matemática em que só o professor ensina e só o aluno aprende. Neste tipo de ensino chamado de tradicional, os fatos são apresentados de forma ilustrativa, com uma mesma forma verbal, pronta e repetitiva, com o intuito de imprimir uma aprendizagem com base na reprodução memorativa. Este tipo de ensino tem vigorado no Brasil desde os jesuítas. Na década de 70 supôs-se que havia sido superado, mas tratava-se de um ledo engano. MATEMÁTICA MODERNA No início dos anos 70, vem para o Brasil um movimento chamado de "matemática moderna" que veio como substituto da "matemática tradicional". Esta forma de abordagem do conteúdo matemático no ensino ainda tem estado presente em livros didáticos atuais. É interessante observar o que dizia a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional N. 5692/71 (p.171) sobre o ensino na perspectiva desta matemática moderna: ... Esse assunto tem dado oportunidade a muitas polêmicas, a nosso ver estéreis. Pensamos que todo problema se resume na infeliz escolha do nome: Matemática Moderna. A Matemática não é moderna, nem clássica, é simplesmente a Matemática. Ocorre que, como muitas outras ciências, ela experimentou nos últimos tempos uma evolução extraordinária, provocando uma enorme defasagem entre a pesquisa e o ensino da matéria. O que deve ser feito, e isso é importante, é uma reformulação radical dos programas, para adaptá-los às novas concepções surgidas, reformulação essa que deve atingir as técnicas e estratégias utilizadas para obtenção dos objetivos propostos. Nessa acepção, achamos que o movimento que levou a uma orientação moderna no ensino de Matemática é irreversível (sic), no sentido de um maior dinamismo na aprendizagem da mesma, em contraste com a maneira estática como era apresentada. Sentimos, portanto, que a orientação dada a um curso de Matemática deve ser moderna e, para isso, é necessário que se dê ênfase, no estudo da matéria, a certos aspectos que visam destacar a indiscutível unidade da matemática, mostrando-a como uma construção única sem compartimentos estanques. Dentre esses aspectos, gostaríamos de evidenciar dois deles, que consideramos de importância fundamental: o papel central desempenhado pelas estruturas matemáticas, estruturas essas que podem ser evidenciadas no estudo dos campos numéricos bem como na geometria, e o importantíssimo conceito de relação e, mais especificamente, o conceito de função, que pode ser abordado não só no estudo de funções numéricas, como também no estudo das transformações geométricas. Além disso, é de importância primordial destacar o papel do raciocínio matemático. A Matemática Moderna nessa concepção estava inserida numa política que buscava a modernização econômica e desta maneira foi colocada como "linha de frente", ao ser considerada via de acesso privilegiado para a "ciência moderna". A Matemática, nessa visão, possuía uma lógica, compreendida a partir de estruturas que ofereciam um papel fundamental à linguagem matemática. Apesar dos problemas de ensino e de aprendizagem decorrentes da matemática moderna, esta foi importante no sentido da pesquisa de novos materiais e métodos de ensino. Apesar da clara necessidade apontada pela Matemática Moderna de se sair do ensino tradicional, esta forma de ensinar matemática possibilitou que se evidenciassem distorções em seu âmbito acarretando os seguintes problemas: A teoria dos conjuntos é tomada como base para a introdução de conceitos, tais como número cardinal, adição de números naturais, múltiplos comuns e outros. O recurso a esses elementos não tem uma função essencial para esclarecer os significados desses conceitos no nível de ensino considerado; ao contrário, obscurece esses significados com um formalismo precoce e desnecessário. Abstrações como "conjunto vazio" e "conjunto infinito" são inadequadas para o Ensino Fundamental. A desvalorização da geometria é perceptível através de textos que não apresentam articulação desta com os demais conteúdos, reduzindo-a a definições de formas geométricas e à apresentação de fórmulas. O ensino das operações com números naturais se dá por meio de treinamento de técnicas operatórias. A formalização precoce das propriedades estruturais das operações. O tratamento desarticulado de tópicos inter-relacionados. A ausência de explicitação da lógica subjacente aos processos matemáticos. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA O saber pensar matemático certamente se dará quando a matemática for trabalhada de forma criativa, crítica e contextualizada. O "o que" e o "como fazer" precisam ser repensados tendo-se em vista o "para que" e o "quando" fazer Educação Matemática. Todos sentimos, no nosso dia-a-dia, que há mudanças profundas em toda a sociedade: nas relações trabalhistas, sociais, éticas, religiosas e, como conseqüência, na relação Escola-Sociedade. Para que esta transformação aconteça de uma maneira humana, justa e democrática, precisamos de cidadãos conscientes, críticos e inovadores e não apenas de mão-de-obra qualificada. Nesse processo, o professor é chamado a proporcionar condições de ocorrência das mudanças desejáveis e imprescindíveis, buscando preparar seus alunos para toda essa transformação. Porém, antes de tudo, o professor precisa estar preparado para tanto. A situação usual dos professores perante a mudança social é comparável a uma cena envolvendo um grupo de atores vestidos com um traje de determinada época do passado, em relação aos quais e à cena, sem qualquer prévio aviso, se muda o cenário na metade do palco, desenrolando um novo pano de fundo sobremaneira diferente do cenário anterior que contrasta e se torna grotesco. No dizer de Vasconcellos (1996:33), o problema reside em que, independentemente de quem provocou a mudança, são os atores que dão a cara. São eles, portanto, que terão que encontrar uma saída honrosa, ainda que não sejam os responsáveis. Em virtude dessas mudanças no contexto histórico-social, disciplinas como história, geografia, português e literatura, oportunizam aos professores uma freqüente atualização de conhecimentos e embora estas disciplinas ainda deixem muito a desejar com relação a propósitos político pedagógicos, tem havido progresso e aceitação geral da importância disto. Porém, como observa D'Ambrósio (1997:87), em matemática ainda há muita incompreensão a esse respeito. A Educação Matemática propõe algumas reformas no âmbito do ensino e da aprendizagem que são principalmente as seguintes: - Enfatiza o direcionamento do ensino fundamental para proporcionar aos educandos competências básicas e de forma não-propedêutica; - Procura fazer com que o aluno tenha um papel ativo na construção de seu conhecimento; - Enfatiza a Matemática pela Resolução de Problemas partindo do cotidiano dos alunos, além de correlacionar a Matemática com outras áreas do currículo; - Mostra ao aluno a necessidade de compreender a importância do uso da tecnologia. Apesar de propostas como essas visarem a melhora do aprendizado de Matemática pelos alunos, o que continuamos a confrontar é um ensino que determina o fracasso continuado dos alunos. O ENSINO DE MATEMÁTICA VISA A EXCLUSÃO OU A INCLUSÃO SOCIAL? A pergunta que faço, apesar das mudanças, é justamente esta: para que se ensina matemática? Para excluir ou incluir pessoas numa sociedade em transformação? Que matemática é essa que está desvinculada da sociedade no ensino que é desigual?!?!. Observamos que a ciência se desenvolveu de forma assustadora, a tecnologia tomou conta do mundo, o Brasil tornou-se uma potência na economia, porém, apesar de toda a evolução econômica o que ainda vemos é um País em que poucos têm muito e muitos nada têm. Nas décadas de 60 e 70, acreditava-se que para promover a justiça social era apenas necessário que se oferecessem condições de acesso e permanência a todos na escola e lhes garantissem condições de trabalho; assim, conseguiríamos superar as "desigualdades sociais". Essa é uma visão ingênua da escola, pois sabemos que - embora haja acesso escolar em grande parte do Estado de São Paulo - é duvidosa a permanência e o sucesso dos ingressantes. O que vemos, na verdade, na escola, é um número muito grande de matriculados que, na maioria das vezes, saem da escola ou porque entram no mercado de trabalho ou porque são excluídos dela própria devido ao tipo de aula recebida e ao tipo de processo em que foram envolvidos nela. É fato que muitos alunos da escola pública não recebem qualquer preparação para o mercado de trabalho, além de terem aulas completamente desvinculadas do seu cotidiano, o que os leva justamente a questionar a sua necessidade em estar na escola. Outro fato importante é que o modelo imposto de sociedade leva os alunos a refletir sobre o que eles devem esperar da escola, já que muitas pessoas que têm formação universitária estão desempregadas, justamente numa sociedade em que o professor que deveria ser um exemplo de profissional bem sucedido, muitas vezes, é visto como um "ser menor" que sofre agruras pela profissão que escolheu. É lógico que esses valores que são inculcados acabam sendo ratificados pela mídia quando esta mostra e ratifica situações na tela da TV. Com tudo isso, a escola ao invés de eliminar as injustiças sociais acaba por reproduzi-las, como ressalta Silva (1992:78), nos seguintes termos: De uma forma ou de outra, o conteúdo escolar, o currículo da educação escolar, o currículo declarado ou implícito, o conhecimento oficialmente transmitido e as atitudes explicitamente cultivadas ou o conhecimento subjacente e as virtudes ocultamente inculcadas, tudo isso se torna agora problemático e problematizável. E a matemática, o que tem a ver com isso? Tem muito a ver, pois o ensino de matemática, apesar das mudanças supostamente ocorridas da passagem da matemática tradicional para matemática moderna e em seguida para a educação matemática, mudanças ocorridas apenas no papel, a grande maioria das práticas de ensino tem sido feita somente através de "exemplos no quadro negro", com repetições várias do mesmo tipo de exercício. Ensinamos conteúdos que os alunos nunca irão aplicar na escola, discutimos - por incrível que pareça! - se devemos usar ou não calculadora na sala de aula, enquanto já deveríamos estar usando computadores em todas as escolas públicas. Dessa maneira, reduzimos a prática pedagógica em matemática baseados no treinamento e na mera memorização, deixando de lado criatividade, questionamento, capacidade de argumentação e, principalmente, a capacidade de reflexão ou de raciocínio dito lógico-matemático. Uma decorrência imediata - e cada vez mais alarmante - dessa forma de ensinar-aprender matemática é o fracasso escolar, pois esse fracasso não consiste apenas em "passar" ou "reprovar", posto que podemos ver, pela formação de ciclos na rede estadual paulista, os alunos na verdade receberem "promoção automática". Isto advém do princípio de Promoção Continuada implantado a partir de 1998, que orientava pedagogicamente para que o aluno, ao obter avaliações insatisfatórias, fosse encaminhado imediatamente para recuperação paralela ou intensiva, mas na prática o que víamos/vemos é os alunos ao serem encaminhados para tal recuperação, não comparecem a essas aulas, uma vez que nesses espaços pedagógicos de retomada do processo de ensino e de aprendizagem encontra-se o mesmo tipo de ensino que ele teve nas aulas regulares e que não lhe interessa nem o estimula. Isto significa que se busca, irracionalmente, "recuperar alunos" insistindo na repetição, intensificando a memorização dos mesmos algoritmos e das mesmas fórmulas mal sucedidas. Além disso, geralmente essas "aulas de recuperação" ocorrem em locais completamente inadequados como pátios, refeitórios, cubículos e salas improvisadas, sem que se dê atenção às condições de ensino necessárias para a retomada imprescindível do ensino com alunos que precisam aprender.Além do problema estrutural apontado, vejo também o grave problema do ensino de matemática que decorre da ausência de quaisquer relações da matemática com o cotidiano, deixando de esta ciência ser tratada como linguagem, ou mesmo como instrumento de compreensão do mundo, nos termos de Freire (1998:26) quando diz: Não temo dizer que inexiste validade no ensino de que não resulta um aprendizado em que o aprendiz não se tornou capaz de recriar ou refazer o ensinado. O currículo de matemática encontra-se repleto de conteúdos sem significados tanto para o aluno como para o professor, conteúdos esses que exigem altos níveis de abstração e que não fazem a menor ligação ou sentido com a realidade dos alunos. Muito embora não acredite que devam ser ensinados apenas conteúdos que serão "utilizados no supermercado", expressando uma visão pragmática de ensino, assumo que o aluno deve ter consciência ou entendimento do conhecimento acumulado pela humanidade. Contudo, esses conhecimentos devem estar contextualizados, de forma tal que o aluno possa saber de onde veio e qual sua importância histórica. Penso ser importante - e talvez imprescindível - trazer para as aulas de matemática as suposições, as argumentações, os sentidos e os significados efetivos dos raciocínios lógico-matemáticos. De outra forma, ao meu ver, os documentos oficiais - desde a LDB 9394/96 - colocam como objetivo principal a formação do cidadão, embora precisemos entender que cidadania é essa. A orientação expressa nos Parâmetros Curriculares Nacionais diz ser preciso compreender a cidadania como participação social e política, assim como exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando, para tanto, no dia a dia, atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito. Observando um pouco mais atentamente essa orientação, vale pôr em questão que direitos e deveres são esses numa sociedade tão desigual, em que os dominantes têm o poder sobre os meios de produção, onde há controle da informação e das decisões políticas que estão sempre nas "mãos deles". Então, se faz necessário refletir sobre a cidadania que estamos produzindo e que cidadania precisamos construir na escola, uma vez que a educação não é neutra e toda ação que desenvolvermos na escola tem implicação política. Desta maneira, acredito que o ensino de matemática deve favorecer a percepção da realidade pelos alunos na busca da construção de seres humanos mais críticos. Por meio da matemática podemos discutir e entender de política e economia, desde que se venha a ensinar formas de leitura compreensiva de jornais e revistas ou a oferecer uma leitura mais crítica da televisão, utilizando-se gráficos, índices, além de proporcionar aos alunos oportunidades de entender certos aspectos das relações com a tecnologia. Venho enfocando o âmbito geral da matemática, mas considerando sob enfoque, mais atentamente, as séries iniciais da escolaridade, nas quais se evidencia claramente o fracasso, apontado em vários momentos. Isto passa a ser compreensível quando vemos que muitos professores trabalham na linha "arme e efetue", deixando de desenvolver nos alunos sua capacidade de raciocínio, sua criatividade, tornando-os meros reprodutores de um conhecimento descontextualizado e sem sentido. Esse fracasso é apontado nos resultados do SAEB - Sistema de Avaliação da Educação Básica. Nesse processo avaliatório definiram-se os seguintes critérios, conforme podemos observar no quadro abaixo: Quadro 1. Construção de competências e desenvolvimento de habilidades na resolução de problemas em cada um dos estágios para a 4ª série do ensino fundamental. Muito Crítico Não conseguem transpor para uma linguagem matemática específica, comandos operacionais elementares compatíveis com a 4ª série (não identificam uma operação de soma ou subtração envolvida no problema). Os alunos nesse estágio não alcançaram o nível da escala do SAEB. Crítico Desenvolvem algumas habilidades elementares de interpretação de problemas aquém das exigidas para a 4ª série (identificam uma operação envolvida no problema). Os alunos neste estágio alcançaram os níveis 1 e 2 da escala do SAEB. Intermediário Desenvolvem algumas habilidades de interpretação de problemas porém insuficientes ao esperado para os alunos da 4ª série (identificam, sem grande precisão, até duas operações). Os alunos nesse estágio alcançaram os níveis 3 ou 4 da escala do SAEB. Adequado Interpretam e sabem resolver problemas de forma competente. Apresentam as habilidades compatíveis com a 4ª série (reconhecem e resolvem operações com números racionais, de soma, subtração, multiplicação e divisão). Os alunos nesse estágio alcançaram níveis 5 ou 6 da escala do SAEB. Avançado São alunos maduros. Apresentam habilidades de interpretação de problemas num nível superior ao exigido para a 4ª série (reconhecem, resolvem e sabem transpor para situações novas, todas as operações com números racionais envolvidas num problema). Os alunos neste estágio alcançaram o Nível 7 da escala do SAEB. Pelos dados obtidos observamos que 12,5% dos alunos estavam no estágio "muito crítico", 39,8% estavam no estágio "crítico", 40,9% estavam no estágio "intermediário", 6,8% dos alunos estavam no estágio "adequado". Contudo, não se encontrou ninguém (0,0%) no estágio "avançado".Dessa maneira, podemos perceber que as habilidades em Matemática dos alunos, geralmente, estão muito aquém do que seria esperado para um desempenho mediano e mesmo muito abaixo das esperadas para a 4ª série. Para se ter idéia mais clara, os estudantes são via de regra incapazes de calcular o resultado de uma adição de números naturais com três algarismos. Nesse contexto de investigação para avaliação, percebeu-se ainda que cerca de 40% dos alunos pesquisados desenvolvem habilidades que os caracterizam no nível de alunos de 2ª e 3ª séries do ensino fundamental, pois resolvem problemas do cotidiano envolvendo apenas pequenas quantias de dinheiro. Na busca de superação desta conjuntura, segundo o INEP (Instituto Nacional de Estudos Pedagógicos), o caminho para a melhoria do ensino da Matemática nas escolas brasileiras depende, principalmente, da melhor capacitação dos professores. É crucial que eles estejam bem preparados, e isso significa dominar o conteúdo daquilo que deve ser ensinado e conhecer as melhores estratégias para o ensino. Nestes termos, para os sistemas de ensino, seria essencial aproximar a pesquisa em educação matemática das séries iniciais. Como se põe nesta afirmação referida acima, ao meu ver, o ensino-aprendizagem da Matemática não deve restringir-se à mera automatização de procedimentos. Os alunos precisam ser incentivados a resolver um significativo número de problemas, raciocinando principalmente sobre situações do cotidiano da realidade na qual se inserem. As atividades pedagógicas, em sala de aula ou fora dela, devem promover a reflexão dos estudantes para render bons frutos na direção da formação cidadã desejada. www.pedagogia.com.br

A Geometria do Futebol: um Facilitador no Ensino Aprendizagem

A Geometria do futebol: Um facilitador no ensino aprendizagem

O objetivo desta monografia foi trabalhar os conceitos geométricos no futebol. Mostrar que a Matemática, em particular, a Geometria, pode ser uma ferramenta para interpretar uma partida de futebol e suas características, ou seja, mostrar que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso. Através de uma análise detalhada de vários autores, mostraremos que a Matemática, em especial a Geometria é uma ciência muito interessante, muito importante no nosso dia-a-dia e muito instigante. Porém nossa sociedade coloca a Matemática como uma disciplina complicada, difícil e aterrorizante. Através da Educação Matemática podemos demonstrar o contrário, podemos mostrar como a Matemática, a Geometria é fascinante, gostosa e útil. Sendo a Geometria um ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ela é um caminho para desenvolver o pensamento e a compreensão para alcançar o nível mais alto de uma teoria formal. Já que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, temos que usar nossa imaginação e mostrar como a Geometria está presente no nosso dia-a-dia, em todos os lugares: principalmente nos campos de futebol, nas quadras de esporte, na arquitetura, na engenharia, nas embalagens dos produtos, no artesanato e na tecelagem, por isso a Geometria é descrita como um corpo de conhecimento fundamental para a compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual.

Palavras-chaves: Futebol; Geometria; Esquemas táticos; Aplicações.

INTRODUÇÃO

Trata-se no presente trabalho dos conceitos geométricos, em especial os conceitos da Geometria Plana aplicados ao futebol de um modo geral. Mostra a Geometria de outra maneira, ou seja, uma Geometria aplicada a um esporte que é a paixão nacional. Vamos trabalhar Geometria falando a linguagem do aluno e abordando assuntos discutidos a todo instante. Associamos um esporte popular, de massa, a uma disciplina que é considerada difícil, chata, aterrorizante, que poucos gostam, ou seja, a Matemática.
Quem nunca ouviu falar do quadrado mágico que foi rotulado pelos jornalistas e treinadores de todo o mundo com referência a qualidade dos jogadores brasileiros na Copa do Mundo de Futebol realizada na Alemanha em 2006. As triangulações sempre citadas nos comentários de qualquer partida de futebol. Os esquemas táticos: 4-4-2, 3-5-2, 4-3-3, alguém já analisou o desenho geométrico, ou seja, as figuras que esses esquemas formam?

O objetivo desta monografia foi trabalhar os conceitos geométricos no futebol. Mostrar que a Matemática, em particular, a Geometria, pode ser uma ferramenta para interpretar uma partida de futebol e suas características, ou seja, mostrar que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso.

Inicialmente esclareceremos como é a Educação Matemática que temos que abordar nos dias atuais. Após, serão tratados alguns conceitos matemáticos, em especial alguns tópicos de Geometria Plana. Por fim abordaremos a parte aplicada ao futebol, desde a bola de futebol, o campo de jogo, suas medidas, algumas curiosidades e as diferentes variações táticas de diversos times de futebol.

Deste modo o presente trabalho será de grande valia, pois pode - se trabalhar de uma forma diferente um assunto que é visto por todos como de difícil entendimento. Ensinar com criatividade, baseando-se no dia - a - dia do aluno, mostrando que a Matemática especificamente a Geometria, não são apenas fórmulas e cálculos.

Educação Matemática

A Educação Matemática não pode ser aquela baseada apenas nas teorias dos livros, das apostilas ou do quadro negro. Hoje o contexto atual exige uma educação muito mais complexa, completa, ou seja, uma educação que atinja o mundo de uma forma global.

...chama-se a atenção para a necessidade de se relacionar a matemática com os demais setores da sociedade, sobretudo reconhecendo os novos desenvolvimentos das ciências e da tecnologia. O grande desafio que nós, educadores matemáticos encontramos é tornar a matemática interessante, isto é, atrativa, relevante, isto é útil; e atual, isto é, integrada no mundo de hoje (D?AMBRÓSIO, 2001, p. 14 - 15).

Assim é na Educação Matemática que encontramos o apoio necessário para tal transformação.

A educação matemática que queremos é aquela que se estenda muito além dos muros da escola do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e do Ensino Superior, que forme educadores e pesquisadores em Ensino de Matemática comprometidos com o ensino formal e não formal (FAINGUELERNT, 2004, p. 07 ).

Diante disto a importância da Educação Matemática se mostra presente. O próprio cotidiano do aluno exige do professor tal tipo de adaptação. Atualmente o que importa é tornar o ensino prazeroso, interessante, criativo e o mais próximo possível da realidade do aluno.

Não há dúvida que numa atividade cujo objetivo é a formação do indivíduo, como é o caso do ensino, não se pode abrir mão do acesso ao conhecimento científico. Mas, levar em consideração as diversas visões deste conhecimento, introduz uma nova concepção de formação, uma formação cuja referência é ao mesmo tempo a ciência e o senso comum. ( MAIA, 2000a, p.25 ).

É importante considerar também que não se deve apenas valorizar o conhecimento científico em detrimento do conhecimento popular, ou seja, o conhecimento científico é muito importante, mas não se pode ignorar o conhecimento popular do aluno, ou seja, falar a linguagem do aluno, aproximar ao máximo da realidade dele.

A Dificuldade de aprendizagem da Geometria

Matemática, Geometria, fórmulas, números, letras, figuras, áreas, volumes, medidas, etc, normalmente são encaradas pelos educandos como um verdadeiro castigo, uma disciplina aterrorizante, que é imposta aos alunos, com muita teoria, muitas fórmulas e pouca prática. Com isso os alunos já chegam traumatizados, com medo, detestando sem nem mesmo conhecer. Já chegam com uma barreira, um obstáculo, sem saber o que é.

O papel do educador é fazer com que esse mito de ser uma disciplina difícil, complicada, com muitas fórmulas apenas e desinteressante, não condiz com a realidade. Temos que mostrar o lado bom da Matemática, da Geometria, as aplicações, instigar o aluno a usar a Matemática para facilitar sua vida no cotidiano. Para isso é preciso inovar, criar, usar e abusar da criatividade para que possamos fazer com que o aluno se interesse por essa disciplina empolgante.

As apostilas, os livros, ou seja, o material didático também contribui significativamente para um ensino deficiente, faltam mostrar as aplicações, com isso tornando o ensino prazeroso e interessante aos alunos.

...alguns livros didáticos também contribuem para a origem de vários problemas, pois as situações de ensino apresentadas naqueles que analisamos e que são propostas para os alunos, de maneira geral, pela maioria dos professores, não enfatizam suficientemente a coordenação de registros de representação semiótica e a importância da figura para a visualização e exploração. Os problemas geométricos propostos por esses livros privilegiam resoluções algébricas, e poucos exigem raciocínio dedutivo ou demonstração. E ainda, quase não existe a passagem da geometria empírica para a geometria dedutiva, além de poucos trabalhos focarem a leitura e a interpretação de textos matemáticos. Essas abordagens criam no aluno concepções inadequadas no que diz respeito ao aprimoramento dos conceitos geométricos, (MANRIQUE, 2004).

De acordo com Pavanello citado por Nascimento ( SBEM, 2004 ):
Além de uma deficiência dos livros didáticos, outro fator importante é o tempo, ou seja, em algumas escolas o conteúdo geométrico é tratado apenas no final do livro didático e muitas vezes não dá tempo para ver o conteúdo, e quando sobra tempo, o mesmo não é visto completo e tem ficado relegado a um plano secundário.

Não podemos deixar de citar também que o desinteresse sobre a Matemática e a Geometria vem da falta de significados para o conteúdo que está sendo ensinado. Está faltando mostrar para que o aluno está estudando esse conteúdo, o que ele vai fazer com isso, onde irá aplicá-lo. Porque em muitos casos os alunos não têm dificuldades, mas sim um desinteresse, porque não consegue ligar a matéria ensinada a sua vida, ao seu mundo, não consegue usar a Matemática como uma ferramenta facilitadora e sim pensam na Matemática como um obstáculo.

A Geometria Aplicada: uma necessidade atual

A Geometria está sempre presente em nossas vidas, é só olharmos nosso cotidiano, sempre tem uma figura geométrica, um ângulo, uma área, um volume para ser calculado, uma medida para ser transformada, um espaço para ser inovado, e isso é possível com a ajuda da Geometria.

Sobre a importância da Geometria, Lorenzato ( 1995 ) diz que esta tem função essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática.

Conforme ( MAIA (b), 2000, p. 25 ), dizia: A busca da funcionalidade da Matemática é então uma das características da representação do professor, ou seja, dar uma função para o conteúdo que está sendo ensinado. Já Hershkowitz citado por Fainguelernt ( 1999, p. 51 ), dizia:

Sendo a Geometria um ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ela é um caminho para desenvolver o pensamento e a compreensão para alcançar o nível mais alto de uma teoria formal. Somente quando essa perspectiva é atingida, a noção de estrutura matemática faz sentido.

A Matemática só consegue alcançar o seu significado, o seu objetivo, quando conseguimos pegar sua teoria e transformá-la em um recurso, numa ferramenta para desenvolvimento social e pessoal, ou seja, a Geometria é um instrumento, um facilitador para que possamos entender alguns acontecimentos cotidianos.

Para tornar o ensino mais aplicado, mais acessível para o aluno, de forma que ele consiga usar a Matemática como uma ferramenta que irá ajudá-lo na sua caminhada, a linguagem desempenha um papel importante na constituição deste conhecimento. Freitas citado por Zuchi ( 2004, p. 49 ), dizia:

Ao mesmo tempo em que a linguagem é um fator importante para o desenvolvimento mental da criança, exercendo uma função organizadora e planejadora do seu pensamento, ela tem também uma função social e comunicativa. Por meio da linguagem a criança é exposta ao conhecimento humano e adquire conceitos sobre o mundo que a rodeia, apropriando-se da experiência acumulada pelo gênero humano no discurso da história social.

A linguagem do professor é importantíssima para a compreensão e desenvolvimento do aluno. Muitas vezes o aluno não consegue ter uma compreensão com o professor, por causa de uma linguagem muito científica, muito formal, mas ao pedir um auxílio ao colega de classe, este falando a linguagem simples, informal, consegue passar de forma clara e tirar a dúvida do mesmo. Na maioria dos casos é necessário que o professor atinja seus objetivos usando uma linguagem adequada ao aluno.

Tópicos elementares de Geometria

A geometria no Ensino Fundamental

A Geometria é construída a partir de três idéias: a idéia de ponto, de reta e de plano, ou seja, os conceitos primitivos. Os matemáticos aceitam essas idéias sem tentar explicá-las.

Segundo Bongiovanni et. al. ( 2002 ), podemos ter idéia de ponto observando marcas de lápis feitas no papel, estrelas no céu, grãos de areia, marca do penalty no campo de futebol, etc. Os pontos são indicados por letras maiúsculas.

Figura 1: Representação de ponto

Temos idéia de reta se imaginarmos um fio, sem começo nem fim, bem esticado. Uma reta é um conjunto de pontos infinitos, e é sempre representada por uma letra minúscula.

Figura 2: Representação de reta

Já quando existe um ponto de origem, pertencente a reta, ou seja, sabe-se onde começa a reta, mas não sabemos o fim, chamamos de semi-reta.

Figura 3: Representação de semi-reta

Agora, se considerarmos apenas um pedaço dessa reta, com origem e fim, teremos a idéia de segmento, ou seja, segmento de reta AB.

Figura 4: Representação de segmento de reta

Outro conceito primitivo é o plano, ou seja, se imaginarmos que é possível prolongar o tampo de uma mesa em todas as direções, teremos a idéia de plano. O campo de futebol é um plano, o chão da sala, sempre imaginando que sempre prolonga, não tem fim. Para traçar um plano é necessário pelo menos três pontos não alinhados. Podemos concluir também que dado um plano ?, nele existem infinitos pontos e infinitas retas pertencentes a este plano.

Figura 5: Representação de plano

Depois de conhecermos os conceitos primitivos, de ponto, de reta e de plano, já podemos entender os conceitos de figura geométrica.

Figura geométrica é qualquer conjunto de pontos. Uma figura geométrica é plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.

Um exemplo de figuras geométricas são os polígonos. Quando o contorno de uma curva fechada simples é constituído apenas de segmentos de retas consecutivos e não colineares, dizemos que a figura geométrica é um polígono.

Os polígonos podem ser classificados de acordo com o número de lados ou ângulos.

Tabela 1: Classificação dos polígonos

Fonte: SOMATEMÁTICA (2008)

Os polígonos mais comuns e que iremos explorar nesta pesquisa são os triângulos e os quadriláteros notáveis.

Segundo Dolce et al. (1993), os triângulos são classificados de acordo com os seus lados e de acordo com seus ângulos:

• Triângulo equilátero: se, e somente se, têm os três lados congruentes.

Figura 6: Triângulo equilátero

• Triângulo isósceles: se, e somente se, têm os dois lados congruentes.

Figura 7: Triângulo isósceles

• Triângulo escaleno: se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes

Figura 8: Triângulo escaleno

• Triângulo acutângulo: triângulo que possui todos os ângulos agudos, ou seja, todos os seus ângulos são menores que 90 graus.

Figura 9: Triângulo acutângulo

• Triângulo retângulo: triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um de seus ângulos mede 90 graus.

Figura 10: Triângulo retângulo

• Triângulo obtusângulo: triângulo que possui um ângulo obtuso, ou seja, um de seus ângulos tem medida maior que 90 graus.

Figura 11: Triângulo obtusângulo

Já os quadriláteros são polígonos simples de quatro lados. Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.

Trapézio é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui dois lados paralelos. Esses lados paralelos são as bases do trapézio. Se analisarmos os outros dois lados que não são as bases podemos classificar o trapézio em:

• Trapézio isósceles: se os outros dois lados forem congruentes.

Figura 12: Trapézio isósceles

• Trapézio escaleno: se os outros dois lados não forem congruentes.

Figura 13: Trapézio escaleno

• Trapézio retângulo ou bi-retângulo: quando tem dois ângulos retos.

Figura 14: Trapézio Retângulo

O paralelogramo é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.

Figura 15: Paralelogramo

O retângulo é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes.

Figura 16: Retângulo

O losango é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.

Figura 17: Losango

O quadrado é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.

Figura 18: Quadrado

Geometria X Futebol

Diante da necessidade de levar o conhecimento adquirido em sala de aula e aplicá-lo ao nosso dia-a-dia, temos que abusar da criatividade, inventar e falar a linguagem que o aluno consiga entender de forma fácil, prazerosa e interessante.

A Geometria é descrita como um corpo de conhecimentos fundamental para a compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual. Está presente no dia-a-dia como nas embalagens dos produtos, na arquitetura das casas e edifícios, na planta de terrenos, no artesanato e na tecelagem, nos campos de futebol e quadras de esporte, nas coreografias das danças e até na grafia das letras. Em inúmeras ocasiões, precisamos observar o espaço tridimensional como, por exemplo, na localização e na trajetória de objetos e na melhor ocupação de espaços ( FILLOS, 2006 ).

Geometria x Bola de Futebol

Se refletirmos um pouco sobre o principal instrumento para a realização de um jogo de futebol, ou seja, a bola, podemos observar que sua confecção é realizada através de várias figuras geométricas.

Segundo Morelli citado por Corrêa ( 2001, p. 35 ):

Antes, a vaquinha é que ia para o sacrifício. O couro de cada animal rendia seis bolas. Hoje as fábricas usam tiras de poliuretano, um tipo de plástico derivado do petróleo. O poliuretano é mais elástico do que o couro, tem espessura constante e não encharca tanto. Uma prensa especial corta o plástico em gomos de seis e cinco lados. Pegue uma bola e conte. São sempre trinta e dois pedaços ( vinte hexágonos e doze pentágonos ).

Figura 19: Bola de futebol de campo

"A esta figura formada de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais chama-se icosaedro truncado. O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes" ( FURUYA, 2002 ).

Figura 20: Icosaedro truncado

Os Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro ( WIKIPEDIA, 2007 ).

O Campo de futebol

Se observamos o campo de futebol podemos identificar nele várias figuras geométricas, vários ângulos, segmentos de retas, pontos, circunferências, raio, diâmetro, perímetro, áreas, diagonais, arco, podemos trabalhar com medidas e suas transformações, ou seja, metros e centímetros.

Você já calculou o perímetro de um campo de futebol, suas áreas, área do gol, a área do círculo central, seu diâmetro, a diagonal do campo, são alguns tópicos que iremos mostrar baseado na figura 21 e 22:

Figura 21: O campo e suas medidas oficiais

Segundo Silva ( 2004 ):

Um campo de futebol tem 110 m de comprimento e 75 m de largura, qual o seu perímetro, ou seja, a medida do contorno do campo?

Perímetro = 2 x ( b + h ) , onde, b = comprimento e h = largura
P = 110 m + 110 m + 75 m + 75 m = 2 x ( 110 m + 75 m )
P = 2 x ( 185 m )
P = 370 m
O perímetro é de 370 m.

Já sabemos que as dimensões do campo de futebol são 110 m x 75 m, vamos calcular agora sua área:

Área = Base x Altura ( A = b.h ), onde, b = comprimento e h = largura
Medidas do campo = 110 m x 75 m
A_{do campo} = 110 m x 75 m
A_{do campo} = 8.250 m²
O campo de futebol possui 8.250 m².

Sabendo que a área total do campo é 8.250 m², e nessa área estão 22 jogadores, vamos calcular a área equivalente a cada um desses 22 jogadores.

Campo = 8.250 m²
Números de jogadores = 22
A_{de cada jogador} = 8.250 m² / 22 (área total de 8.250 m² dividida por 22 jogadores)
A_{de cada jogador} = 375 m²
Cada jogador pode ocupar uma área de 375 m².

Agora iremos calcular a área que o goleiro tem que defender e o atacante tem para acertar e fazer o gol. As medidas das traves são 7,32 m de largura e 2,44 m de altura, conhecendo essas medidas podemos calcular a área que o goleiro tem que defender.

Área = b x h, onde, b = comprimento e h = largura
A_{do gol} = 7,32 m x 2,44 m
A_{do gol} = 17,86 m²

A área entre as traves é de 17,86 m², ou seja, o goleiro tem que defender uma área mais de 17 metros quadrados.

Como estamos calculando várias áreas, podemos calcular também a área da grande área onde o goleiro pode trabalhar com a mão. A grande área tem 16,5 m de comprimento e 40,3 m de largura, com esses dados podemos calcular a área que o goleiro tem para trabalhar com as mãos.

A_{da grande área} = b x h, onde, b = comprimento e h = largura
A_{da grande área} = 16,5 m x 40,3m
A_{da grande área} = 664,95 m²

Figura 22: Futebol e a geometria

Agora iremos calcular a área do círculo central. O diâmetro do círculo central é de 18,30 m, atribuindo a ? ( pi ) o valor de 3,14 calcule a área do círculo central:

Área do círculo central = ? x r², onde, ? = pi = 3,14 e r = raio
Diâmetro = 18,30 m e ? = 3,14
r = Diâmetro / 2 ? r = 18,30 / 2 ? r = 9,15 m
A_{do círculo central} = 3,14 x ( 9,15 m )²
A_{do círculo central} = 3,14 x 83,72 m²
A_{do círculo central} = 262,88 m²

O círculo central possui então uma área de 262,88 m².
2.5.3 O Futebol e os desenhos táticos

Nas figuras 23, 24 e 25 podemos observar várias figuras geométricas em diferentes esquemas táticos adotados pelos principais times brasileiros, seleções e times estrangeiros.

No esquema 3-5-2 ( 3 zagueiros, 5 jogadores de meio de campo e 2 atacantes ), esquema adotado pelo técnico da seleção brasileira de futebol Luiz Felipe Scolari na disputa pelo pentacampeonato no mundial de 2002, disputado no JAPÃO e na CORÉIA DO SUL.

Conforme a figura 23, esse esquema mostra o desenho tático formado por diversas figuras geométricas como: triângulos equiláteros, triângulos isósceles e quadriláteros. É bom deixar claro que essas figuras podem variar de treinador para treinador, dependendo da característica dos jogadores e dos treinadores, mas independente da característica, todos os esquemas táticos poderá ser ilustrado através de figuras geométricas.

Figura 23: Esquema tático 3-5-2

Já no esquema 4-4-2 ( 4 zagueiros, 4 jogadores de meio campo e 2 atacantes ), esquema adotado pelo técnico da seleção brasileira de futebol Carlos Alberto Parreira na disputa do tetracampeonato no mundial disputado nos Estados Unidos em 1994. Conforme a figura 24 abaixo esse esquema é formado por triângulo equilátero, trapézios, hexágono, quadrado e retângulo.

Figura 24: Esquema tático 4-4-2

O esquema 4-3-3 ( 4 zagueiros, 3 jogadores de meio de campo e 3 atacantes), um esquema muito ofensivo que os treinadores usam quando estão em desvantagem no placar ou precisam reverter algum resultado desfavorável. Este esquema foi muito utilizado no passado, quando a prioridade era o ataque, o futebol bonito, chamado futebol arte. Este esquema pode ser observado várias figuras geométricas como: triângulos equiláteros, triângulos isósceles, trapézios, hexágonos, quadrados e retângulos.

Figura 25: Esquema tático 4-3-3

2.5.4 Esquemas táticos de algumas equipes de futebol

O esquema WM.

Figura 26: Esquema WM ou 3-2-5, Inglaterra da década de 20

O esquema WM formado por três zagueiros, dois jogadores de meio campo mais defensivo, dois jogadores de meio campo mais ofensivo e três atacantes, foi criado na década de 20 pelo inglês Chapman e foi trazido para o Brasil através do técnico Dori Kruescher. Neste esquema de jogo fica bem claro a formação de dois trapézios isósceles e em cada trapézio visualizamos três triângulos equiláteros.

2.5.4.2 Suíça de 1938.

Figura 27: Esquema 4-1-5: Suíça de 1938

Também conhecido como Ferrolho Suíço, esquema com um zagueiro mais atrás, protegido por três zagueiros mais à frente, formando um triângulo isósceles, um jogador de meio campo mais recuado formando um triângulo equilátero e cinco atacantes formando também um triângulo isósceles. Foi um esquema inovador e surpreendente. E a base teórica deste esquema (marcação sobre pressão, meias/atacantes marcando os zagueiros fixo) é adotada até hoje.

O Vila Nova de 1951.

Figura 28: Esquema 4-2-4: Vila Nova de 1951

O 4-2-4 ( quatro zagueiros, dois jogadores de meio campo e quatro atacantes), foi criado com o intuito de diminuir a fragilidade defensiva do 2-3-5 e do WM. Neste esquema visualizamos um trapézio formado pelos jogadores da defesa e um paralelogramo formado pelos jogadores de ataque.

O Flamengo de 1954.

Figura 29: Esquema 2-3-5, Flamengo de 1954.

O primeiro esquema tático adotado no futebol moderno foi o 2-3-5. Não tinha muita preocupação ofensiva, jogavam com uma linha de 2 zagueiros, três homens de meio campo formando um triângulo equilátero, e cinco homens de ataque formando um trapézio.

A seleção brasileira de 1970.

Figura 30: Esquema 4-2-4, Seleção Brasileira de 1970

Apesar do 4-2-4, o time jogava posicionado muito recuado para a época, sempre buscando o contra-ataque. Os quatro jogadores de defesa formavam um trapézio, dois jogadores de meio campo e quatro atacantes formando um triângulo isósceles. É considerada uma das melhores seleções de todos os tempos e tinha no comando do ataque Édson Arantes do Nascimento (Pelé), um dos maiores jogadores do mundo.

O Esquema com o Líbero.

Figura 31: Esquema com o líbero

O líbero é responsável por proteger o gol, quando a defesa joga mais á frente, ele joga atrás do dois zagueiros. Neste esquema podemos observar um triângulo isósceles formado pelos jogadores de defesa e os alas, e no meio de campo outro triângulo isósceles.

O Barcelona de 1996.

Figura 32: Barcelona de 1996

O Barcelona de 1996, jogava no 3-4-3 ( 3 zagueiros, 4 jogadores de meio campo e 3 atacantes ). Os times europeus, no início dos anos 90, geralmente adotavam um esquema que concentrasse bastante jogadores no meio campo, como o 3-4-3 e o 3-5-2. Esses esquemas possibilitam, teoricamente, maior proteção à defesa e maior apoio ao ataque. Além disso o líbero sempre foi usado. No esquema do Barcelona podemos observar um triângulo isósceles formado pelos jogadores da defesa, um losango formado pelos jogadores de meio campo e no ataque outro triângulo isósceles.

O Ajax de 1996.

Figura 33: Ajax de 1996

O futebol mundial já parecia ter decretado o fim dos pontas ( jogadores que jogam abertos pelos lados do campo), já que era muito difícil achar jogadores tão versáteis para essa função. O Ajax reinventou esta formação e ganhou muitos títulos na década de 90. O Ajax jogava com uma linha (segmento de reta) com três zagueiros, três jogadores de meio campo e dois pontas abertos formando com isso um trapézio e dois atacantes se movimentando na frente.

O Mônaco de 1996.

Figura 34: Mônaco de 1996

O Mônaco adotou um 4-4-2 ( quatro zagueiros, quatros jogadores de meio campo e dois atacantes ) um pouco diferente. Jogavam com uma linha de quatro zagueiros atrás, no meio campo tinha outra linha de três jogadores formando assim um trapézio e no ataque dois jogadores se movimentavam com a ajuda de um quarto homem de meio campo , formando dois triângulos isósceles.

A Juventus de 1997.

Figura 35: Juventus de 1997

A equipe, quando atacada, defendia-se com os 3 zagueiros, formando um triângulo isósceles, juntamente com os dois laterais ou alas e os dois volantes formando um trapézio isósceles no meio campo. Já o ataque era formado por três jogadores formando assim um triângulo escaleno.

A Noruega de 1998.

Figura 36: Noruega de 1998

O técnico Egil Olsen mostrou sua equipe num 4-5-1, com o meio campo e a defesa jogando em linha, com essa formação podemos observar um retângulo formado pela linha de quatro zagueiros e pela linha de cinco jogadores de meio campo. Já o ataque só tinha um jogador que formava um triângulo isósceles com o meio campo.

METODOLOGIA

O presente trabalho foi realizado através de pesquisa bibliográfica.

Tal pesquisa foi feita em sites, livros, periódicos, artigos científicos, na biblioteca do Centro Universitário de Lavras (UNILAVRAS), na biblioteca pública municipal da cidade de Perdões / MG e em acervo particular.

Foi feita uma análise criteriosa do material selecionado.

O período de realização do trabalho foi de fevereiro de 2007 a junho de 2008.

CONSIDERAÇÕES GERAIS

Para mudarmos a visão dos alunos sobre a Matemática, considerada por eles uma disciplina chata, difícil, desinteressante, é preciso torná-la prazerosa, útil e interessante.
Segundo o grande desafio que nós, educadores matemáticos, encontramos é tornar a Matemática interessante, isto é, atrativa, relevante, isto é útil e atual, isto é, integrada no mundo de hoje.

Já FAINGUELERNT(2004), diz que a Educação Matemática que queremos é aquela que se estenda muito além dos muros da escola do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e do Ensino Superior.

Como podemos perceber ambos dizem que só conseguiremos alcançar o nosso objetivo de tornar a Matemática uma ciência gostosa e interessante quando torná-la aplicada, mostrando suas aplicações principalmente fora da escola, na vida real do aluno.

No caso específico da Geometria plana, por exemplo, esta enfrenta vários problemas que atrapalha o aprendizado do aluno. Segundo MANRIQUE (2004), alguns livros didáticos deixam a desejar pois os problemas geométricos propostos por estes, privilegiam resoluções algébricas, e poucos exigem raciocínio dedutivo ou demonstração. E ainda, quase não existe a passagem da Geometria empírica ( Geometria de experiências, observações ), para a Geometria dedutiva, além de poucos trabalhos focarem a leitura e a interpretação de textos matemáticos. Pavanello citado por Nascimento (2004), vai além, dizendo que outro fator importante é o tempo, ou seja, em algumas escolas o conteúdo geométrico é tratado apenas no final do livro didático e muitas vezes não dá tempo para ver o conteúdo, e quando sobra tempo, o mesmo não é visto completo e tem ficado relegado a um plano secundário.

Uma forma de se melhorar esta questão do tempo é intercalar as aulas de Geometria com as de Matemática, não deixando a Geometria para o final do ano. Como vimos existem vários fatores que atrapalham o aprendizado do aluno e contribuem para que ele se afaste cada vez mais da Geometria. Mas existem meios para revertemos esse quadro, principalmente mostrando a importância da Geometria e isso é possível com criatividade.

Lorenzato (1995) diz que a Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática. Já Hershkowitz citado por Fainguelernt (1999), diz que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ou seja, a Geometria é a ponte, a ligação do conteúdo teórico e o conteúdo prático.

Podemos considerar também que a Geometria está sempre presente em nossas vidas, é só olharmos nosso cotidiano, sempre tem uma figura geométrica, um ângulo, uma área, um volume para ser calculado, uma medida para ser transformada e um espaço para ser inovado. Isso é possível com a ajuda da Geometria.

Para tornar o ensino mais aplicado, mais acessível para o aluno, de forma que ele consiga usar a Matemática e a Geometria como uma ferramenta que irá ajudá-lo na sua caminhada, a linguagem desempenha um papel importante na constituição deste conhecimento. Freitas citado por Zuchi (2004), diz que ao mesmo tempo em que a linguagem é um fator importante para o desenvolvimento mental da criança, exercendo uma função organizadora e planejadora do seu pensamento, ela tem também uma função social e comunicativa.

Pois muitas vezes o professor falando uma linguagem muito científica não consegue passar a informação para o aluno, já o colega de classe, às vezes falando uma linguagem mais simples, consegue lhe transmitir o que o professor desejava.
Nosso objetivo é mostrar uma Geometria mais aplicada, mais prática, mostrando que se pode ensinar Geometria plana em parceria com um esporte que é paixão nacional, o futebol.

Segundo (FILLOS, 2006), a Geometria está em todos os lugares, principalmente nos campos e nas quadras de futebol. Já Morelli citado por Corrêa (2001), fala sobre a Geometria da bola e seu formato, formada por um icosaedro truncado. Silva ( 2004 ), fala sobre a Geometria aplicada no campo de futebol e algumas curiosidades interessantes, como área do campo de jogo, área do círculo central, as figuras geométricas encontradas no campo, e ainda mostra vários esquemas de times de todo o mundo e as figuras geométricas formadas por estes esquemas.

Como podemos observar os três autores falam dos conceitos matemáticos aplicados ao futebol e algumas curiosidades, que muitas vezes não notamos. Deste modo podemos tornar o ensino da Matemática, ou seja, da Geometria mais atraente, mais útil, mais interessante e instigante ao aluno. Aprendendo Geometria e ao mesmo tempo descobrindo os encantos de um esporte que é a paixão da maioria dos brasileiros.

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Nova Matematica parte I

O assim chamado Pythagoras


....... A Nova Nova Matemática, como as vezes é chamada, tem grandes objetivos: deixar de lado o ensino voltado para os exercícios e ajudar os alunos a entender e gostar dos conceitos matemáticos. Contudo, na prática, tem sido um amontoado de bobagens. A exercicitação é trocada pela teoria e pela idéia de que os alunos não devem ser receptores passivos de regras mas sim descobridores, gentilmente guiados pelos professores, os quais são co-aprendizes e não autoridades com lições a ensinar. Respostas corretas também não são importantes. Alguns opositores chamam isso de Matemática Integral, pois os alunos frequentemente acabam adivinhando as respostas, de um modo similar ao que ocorre no modismo do Inglês Integral, onde os alunos tentam adivinhar palavras que não conseguem pronunciar. .........

Em verdade, esses vagos objetivos incluem atividades de aula que pouco tem a ver com matemática......, ( por exemplo ), no livro Secondary Math: an integrated approach, focus on Algebra temos a poesia de Maya Angelou, fotos do Presidente Clinton e de gravuras africanas em madeira, sermões sobre nossos pecados ambientais, e mais fotos de alunos chamados Tatuk e Estéban dando conselhos sobre a vida. Também contém elogios à mulher de Pythagoras e faz profundas perguntas como "qual papel devem desempenhar os zoológicos em nossa sociedade?". Contudo, equações só aparecem na página 165, e a primeira vez que uma equação de primeiro grau é resolvida ocorre na página 218 e a resolução é feita por tentativas........

Pior ainda, a Nova Nova Matemática adotou o clássico cozido de obsessões das faculdades de educação sobre sentimentos, auto-estima e toda uma agenda de itens politicamente corretos.

..........A Nova Nova Matemática tornou-se um veículo para o agressivo multiculturalismo que se alastra pelas escolas. O material produzido pelo NCTM ( National Council of teachers of Mathematics ), que está suportando a Matemática Integral, está cheio de sugestões para implementar o multiculturalismo nas aulas de matemática. A Nova Nova Matemática, consequentemente, também vagamente endossa o alegado novo campo da Etnomatemática. A maioria de nós pode pensar que a Matemática é uma disciplina abstrata e universal, que pouco tem a ver com etnicidade. Mas os etnomatemáticos, que estão muito ocupados fazendo congressos e escrevendo livros, afirmam que as pessoas tem uma matemática natural a qual está vinculada à sua cultura. A matemática do Mundo Ocidental, por exemplo, não é universal mas apenas uma expressão da cultura dos brancos sobre os não-brancos. Muito disso vem acompanhado por ataques ao eurocentrismo. Num livro de ensaios sobre Etnomatemática inicia-se lembrando que a Europa não existe, pois é apenas uma península do continente Eurasiano... Boa parte do livro é gasta insistindo que povos sem escrita tinham vários tipos de manifestações matemáticas, de padrões de tecelagem a um osso africano com riscos que deviam ter sido usados para contagem.

Tudo não passa de tolices, mas é onde o multiculturalismo anda agora. A menos que V. vá estudar em uma escola de engenharia que use ábacos Yoruba, ou a menos que V. costume verificar seu talão de cheques ao estilo dos indios navajos, provavelmente o melhor a fazer seja ignorar esse tipo de coisas. .........

Matematicos nascidos entre 1900 a 1904

(1900-1978) Cox (1900-1970) Collingwood (1900-1993) Burkill (1900-1973) Aiken (1900-1967) Ingham (1900-1968) Kloosterman (1900-1971) Youden (1900-1958) Pauli (1900-1979) Vranceanu (1900-1982) Bath (1900-1982) Curry (1900-1959) Dantzig (1900-1980) Rédei

(1900-1980) Lavrentev (1900-1988) Uhlenbeck (1900-1998) Cartwright (1900-1992) Zygmund (1901-1973) Petrovsky (1901-1977) Brauer (1901-1929) Schreier (1901-1980) Akhiezer (1901-1978) Oka (1901-1981) Euwe (1901-1983) Zeckendorf (1901-1972) Gwilt (1901-1975) Novikov

(1901-1980) Copson (1901-1933) Gershgorin (1901-1977) Robb (1901-1956) Fantappiè, Luigi (1901-1982) Friedrichs (1901-1954) Fermi (1901-1990) Deans (1901-1961) Bari (1901-1992) Temple (1901-1976) Heisenberg (1901-1944) Kochin (1901-1949) Williamson (1901- ?? ) Simpson

(1902-1983) Tarski (1902-1977) Shoda (1902-1979) Gray (1902-1983) Hopf, Eberhard (1902-1959) Zarankiewicz (1902-1984) Lassar (1902-1994) Yates (1902-1971) Eckert, Wallace (1902-1984) Petersson (1902-1976) Calugareanu (1902-1979) Baer (1902-1980) Golab

(1902-1997) Rees (1902-1984) Dirac (1902- ?? ) Frewin (1902-1950) Wald (1902-1995) Wigner (1902-1990) Schwerdtfeger (1903-1961) Robertson (1903-1996) van der Waerden (1903-1977) Segre, Beniamino (1903-1930) Ramsey (1903-1982) Timms (1903-1987) du Val

(1903-1989) Stone (1903-1958) Wintner (1903-1994) Tinbergen (1903-1990) Schoenberg (1903-1989) Morishima (1903-1987) Kolmogorov (1903-1972) Mackenzie (1903-1999) Jeffreys, Bertha (1903-1992) Rocard (1903-1980) Prager (1903-1990) Orlicz (1903-1995) Church

(1903-1975) Hodge (1903-1974) Flügge-Lotz (1903-1988) Mahler (1903-1973) Paton (1903-1979) Littlewood, D (1903-1990) de Rham (1903- ?? ) Steele (1903-1968) Delsarte (1903-1977) Gillespie (1903-1989) Goldstein (1903-1984) Bosanquet (1903-1957) von Neumann (1903-1978) Rajagopal

(1904-1969) Whyburn (1904-1959) Caccioppoli (1904-1994) Dubreil (1904-1982) Hall, Philip (1904-1989) Warschawski (1904-1964) Koksma (1904-1993) Householder (1904-1989) McShane (1904-1988) McVittie (1904-1985) Semple (1904-1956) Hurewicz (1904-2008) Cartan, Henri (1904-1986) Grunsky

(1904-1994) Foster (1904-1973) Ricci, Giovanni (1904-1968) Roth (1904-1973) Davies (1904-1988) Lewy (1904-1997) Edge (1904-1960) Whitehead, Henry (1904-1986) Chudakov (1904-1999) McCrea (1904-1989) Wolf, Frantisek (1904-1976) Buchan

Matematicos nascidos entre 1850 a 1859

(1850-1891) Kovalevskaya (1850-1922) Bryant (1850-1930) Story (1850-1925) Heaviside (1850-1916) Gram (1850-1925) Ball (1850-1941) Pringsheim (1850-1926) Lang (1851-1925) Czuber (1851-1912) Haret (1851-1911) Chrystal (1851-1939) Dickstein (1851-1937) Elliott (1851-1910) Taylor (1851-1935) Schottky (1851-1901) FitzGerald

(1851-1930) Hayes (1851-1922) Bertillon (1851-1941) Macdonald (1852-1925) Giovanni (1852-1929) Le Paige (1852-1939) Lindemann (1852-1903) Weyr, Eduard (1852-1927) Burnside (1852-1921) Upton (1853-1925) Ricci-Curbastro (1853-1936) Pincherle (1853-1928) Schönflies (1853-1932) Kerr (1853-1928) Lorentz (1853-1908) Maschke (1853-1922) Halsted

(1854-1914) Peirce, B O (1854-1913) Philip (1854-1912) Poincaré (1854-1917) Veronese (1854-1931) Sleszynski (1854-1929) MacMahon (1854-1919) Rydberg (1854-1948) Brillouin (1854-1933) Mellin (1855-1935) Juel (1855-1913) Vályi (1855-1920) Rohn (1855-1944) Boys (1855-1900) Wiltheiss (1855-1910) Capelli (1855-1930) Appell

(1855-1914) Guccia (1855-1935) Steggall (1856-1928) Bianchi (1856-1912) Droz-Farny (1856-1922) Markov (1856-1922) Knott (1856-1907) Morera (1856-1941) Picard, Emile (1856-1929) Rudio (1856-1934) Meyer (1856-1927) Runge (1856-1933) Hobson (1856-1934) von Dyck (1856-1894) Stieltjes (1856-1947) Thomson (1857-1894) Hertz

(1857- ?? ) Macmillan (1857-1936) Pearson (1857-1931) Dudeney (1857-1890) Fraser (1857-1942) Bolza (1857-1939) Wiener, Hermann (1857-1918) Lyapunov (1857-1942) Larmor (1857-1921) Pell, Alexander (1858-1931) Koenigs (1858-1930) Gibson (1858-1947) Planck (1858-1936) Goursat (1858-1931) Scott (1858-1942) Forsyth (1858-1931) Johnson

(1858-1934) Gerbaldi (1858-1932) Peano (1858-1928) Fine, Henry (1859-1921) Humbert, G (1859-1930) Cajori (1859-1906) Cesàro (1859-1919) Hurwitz (1859-1929) Shatunovsky (1859-1929) Heun (1859-1925) Jensen (1859-1935) Meshchersky (1859-1942) Pick (1859-1962) Bukreev (1859-1937) Hölder

Matematicos nascidos entre 1840 a 1849

(1840-1909) Abbe (1840-1927) Mertens (1840-1916) McClintock (1840-1926) Neuberg (1840-1912) Lemoine (1840-1921) Thomae (1840-1918) Henrici (1841-1919) Sturm, Rudolf (1841-1911) Loyd (1841-1908) Laurent, H (1841-1902) Schröder (1842-1927) Sokhotsky (1842-1907) Clerke (1842-1929) Boussinesq

(1842-1891) Lucas (1842-1905) Stolz (1842-1913) Weber, Heinrich (1842-1916) Thom (1842-1933) D'Ovidio (1842-1917) Darboux (1842-1922) Rosanes (1842-1912) Reynolds (1842-1935) Brill (1842-1919) Rayleigh (1842-1899) Lie (1843-1913) Stuart (1843-1921) Schwarz (1843-1934) Geiser

(1843-1913) Tarry (1843-1914) Mackay (1843-1930) Pasch (1843-1904) Tannery, Paul (1843-1917) Niven (1844-1906) Boltzmann (1844-1910) Lueroth (1844-1919) Mansion (1844-1916) Scholtz (1844-1934) Muir (1844-1921) Noether, Max (1844-1889) Halphen (1844-1933) Wangerin (1845-1896) Tisserand

(1845-1926) Edgeworth (1845-1918) Cantor Georg (1845-1879) Clifford (1845-1922) Brocard (1845-1912) Darwin (1845-1923) Niven (1845-1918) Dini (1845-1931) Jerabek (1846-1923) Schoute (1846-1927) Mittag-Leffler (1846-1907) Poretsky (1846-1933) Bertini (1847-1921) Zhukovsky (1847-1930) Farkas (1847-1878) Zolotarev

(1847-1923) Killing (1847-1925) Gray (1847-1884) Castigliano (1847-1896) Wilson (1847-1927) Greenhill (1847-1930) Ladd-Franklin (1847-1920) Floquet (1848-1922) Suter (1848-1923) Guenther (1848-1910) Tannery, Jules (1848-1921) Andreev (1848-1941) Korteweg (1848-1911) Schubert (1848-1919) Netto (1848-1894) Weyr

(1848-1919) Eötvös (1848-1919) Bruns (1848-1928) Glaisher (1848-1925) Frege (1849-1903) Gegenbauer (1849-1915) Sonin (1849-1925) Klein (1849-1922) Kempe (1849-1924) Woodward (1849-1898) Hopkinson (1849-1933) Scott (1849-1917) Frobenius (1849-1934) Lamb (1849-1913) König, Julius (1849-1943) Barclay

Matematicos nascidos entre 1830 a 1839

(1830-1891) Hirst (1830-1920) Sprague (1830-1903) Cremona (1831-1907) Routh (1831-1901) Tait (1831-1879) Maxwell (1831-1906) Mannheim (1831-1916) Dedekind (1831-1889) du Bois-Reymond (1832-1898) Dodgson (1832-1905) Tucker, Robert (1832-1925) Neumann, Carl (1832-1903) Lipschitz (1832-1866) Bour (1832-1910) Rouché (1832-1918) Sylow (1833-1872) Clebsch (1833-1902) Fuchs (1834-1886) Laguerre

(1834-1924) Jack (1834-1888) Forest (1834-1923) Venn (1835-1909) Newcomb (1835-1893) Stefan, Josef (1835-1915) Amringe (1835-1890) Mathieu, Emile (1835-1918) Martin (1835-1882) Jevons (1835-1911) Méray (1835-1899) Beltrami (1835-1890) Casorati (1836-1910) Weingarten (1837-1908) Korkin (1837-1912) Gordan (1837-1920) Bachmann (1837-1914) Lexis (1837-1906) Tilly (1837-1903) Bugaev

(1837-1921) Königsberger (1838-1922) Jordan (1838-1914) Hill (1838-1925) Baldwin (1838-1889) Hunyadi (1838-1919) Reye (1838-1926) Abbott (1838-1910) Thiele (1839-1903) Gibbs (1839-1873) Hankel (1839-1908) Mayer, Adolph (1839-1920) Zeuthen (1839-1889) Barbier (1839-1907) Siacci (1839-1910) Petersen (1839-1866) Roch (1839-1914) Peirce, Charles (1839-1930) Bolam

Matematicos nascidos entre 1820 a 1829

(1820-1883) Puiseux (1820-1910) Nightingale (1820-1891) Casey (1820-1870) Chauvenet (1820-1872) Rankine (1820-1901) Jonquières (1820-1884) Todhunter (1821-1881) Heine (1821-1894) Chebyshev (1821-1895) Cayley (1821-1894) Helmholtz (1821-1896) Seidel (1822-1888) Clausius (1822-1911) Galton (1822-1880) Lissajous (1822-1900) Bertrand (1822-1901) Hermite (1823-1886) Hoüel

(1823-1852) Eisenstein (1823-1901) Schlömilch (1823-1909) Blackburn (1823-1892) Betti (1823-1912) Amsler (1823-1891) Kronecker (1823-1885) Davidov (1824-1873) Codazzi (1824-1887) Kirchhoff (1824-1907) Thomson (Kelvin) (1824-1904) Allman (1824-1897) Brioschi (1824-1861) Dase (1825-1883) Spottiswoode (1825-1907) Faà di Bruno (1825-1898) Balmer (1825-1900) Walker, John (1825-1903) Bjerknes, Carl

(1825-1912) Vashchenko-Z (1826-1894) Battaglini (1826-1895) Meissel (1826-1866) Riemann (1826-1883) Smith (1826-1896) Wiener, C (1826-1915) Crofton (1827-1903) Watson, Henry (1827-1913) Roberts (1827-1884) Merrifield (1828-1881) Peterson (1828-1893) Bruno (1828-1912) Ferguson (1829-1892) Schroeter (1829-1903) Ferrers (1829-1920) Cantor, Moritz (1829-1891) Wolstenholme (1829-1900) Christoffel

Matematicos nascidos entre 1800 a 1819

(1800-1877) Talbot (1800-1834) Feuerbach (1801-1885) Clausen (1801-1868) Plücker (1801-1892) Airy (1801-1877) Cournot (1801-1862) Ostrogradski (1801-1883) Plateau (1802-1829) Abel (1802-1860) Bolyai, János (1803-1869) Libri (1803-1855) Sturm, Charles (1803-1880) Bellavitis

(1803-1853) Doppler (1804-1891) Weber (1804-1849) Verhulst (1804-1851) Jacobi (1804-1889) Bunyakovsky (1804-1863) Jerrard (1805-1890) Sang (1805-1859) Dirichlet (1805-1865) Hamilton, W R (1806-1885) Minding (1806-1895) Kirkman (1806-1871) De Morgan (1806-1871) Weisbach

(1807-1891) Petzval (1808-1882) Russell, Scott (1808-1877) Grassmann (1808-1882) Listing (1808-1869) Dupré (1808-1879) Kelland (1809-1882) Liouville (1809-1880) Peirce, B (1809-1871) Pratt (1809-1896) Menabrea (1809-1896) MacCullagh (1810-1893) Kummer (1811-1877) Le Verrier

(1811-1874) Hesse (1811-1832) Galois (1811-1883) Waterston (1811-1882) Shanlan (1812-1882) Shanks (1812-1847) Göpel (1813-1853) Anstice (1813-1844) Gregory, Duncan (1813-1854) Laurent, Pierre (1814-1895) Schläfli (1814-1883) Colenso (1814-1872) Rosellini (1814-1894) Catalan

(1814-1894) Wantzel (1814-1897) Sylvester (1815-1876) Somov (1815-1864) Boole (1815-1897) Weierstrass (1815-1852) Lovelace (1816-1900) Frenet (1816-1872) Delaunay (1816-1887) Rosenhain (1816-1893) Wolf (1817-1891) Ferrel (1817-1880) Borchardt (1817-1889) Genocchi

(1817-1882) Briot (1818-1861) Joachimsthal (1819-1895) Cockle (1819-1892) Adams (1819-1884) Aronhold (1819-1903) Stokes (1819-1885) Serret (1819-1885) Bouquet (1819-1868) Foucault (1819-1896) Fizeau (1819-1904) Salmon (1819-1892) Bonnet

Matematicos nascidos entre 1800 a 1819

(1800-1877) Talbot (1800-1834) Feuerbach (1801-1885) Clausen (1801-1868) Plücker (1801-1892) Airy (1801-1877) Cournot (1801-1862) Ostrogradski (1801-1883) Plateau (1802-1829) Abel (1802-1860) Bolyai, János (1803-1869) Libri (1803-1855) Sturm, Charles (1803-1880) Bellavitis

(1803-1853) Doppler (1804-1891) Weber (1804-1849) Verhulst (1804-1851) Jacobi (1804-1889) Bunyakovsky (1804-1863) Jerrard (1805-1890) Sang (1805-1859) Dirichlet (1805-1865) Hamilton, W R (1806-1885) Minding (1806-1895) Kirkman (1806-1871) De Morgan (1806-1871) Weisbach

(1807-1891) Petzval (1808-1882) Russell, Scott (1808-1877) Grassmann (1808-1882) Listing (1808-1869) Dupré (1808-1879) Kelland (1809-1882) Liouville (1809-1880) Peirce, B (1809-1871) Pratt (1809-1896) Menabrea (1809-1896) MacCullagh (1810-1893) Kummer (1811-1877) Le Verrier

(1811-1874) Hesse (1811-1832) Galois (1811-1883) Waterston (1811-1882) Shanlan (1812-1882) Shanks (1812-1847) Göpel (1813-1853) Anstice (1813-1844) Gregory, Duncan (1813-1854) Laurent, Pierre (1814-1895) Schläfli (1814-1883) Colenso (1814-1872) Rosellini (1814-1894) Catalan

(1814-1894) Wantzel (1814-1897) Sylvester (1815-1876) Somov (1815-1864) Boole (1815-1897) Weierstrass (1815-1852) Lovelace (1816-1900) Frenet (1816-1872) Delaunay (1816-1887) Rosenhain (1816-1893) Wolf (1817-1891) Ferrel (1817-1880) Borchardt (1817-1889) Genocchi

(1817-1882) Briot (1818-1861) Joachimsthal (1819-1895) Cockle (1819-1892) Adams (1819-1884) Aronhold (1819-1903) Stokes (1819-1885) Serret (1819-1885) Bouquet (1819-1868) Foucault (1819-1896) Fizeau (1819-1904) Salmon (1819-1892) Bonnet