Soma Supreendente

Addition surprenante :

1+2 = 3
4+5+6 = 7 + 8
9+10+11+12 = 13+14+15
16+17+18+19+20 = 21+22+23+24
...etc
Remarque : chaque ligne commence par les carrés des nombres entiers : 1,4,9,16..

A trigonometria

  A trigonometria

Diga lá meu companheiro, diga lá meu amigão
Onde inicia a trigonometria
Que até o nome é complicado
Não deve ser tão fácil, não
Ela inicia no triângulo, não no agudo ou obtuso
É no triângulo retângulo.

E nesse triângulo tem esquema
Para resolver qualquer problema
É de Pitágoras o Teorema...
"A medida ao quadrado do lado maior que se chama hipotenusa
É igual à soma do quadrado dos lados menores"
Quem não sabe aprenda
Quem já sabe usa.

O seno de x é o cateto oposto
sobre a hipotenusa
O cosseno de x é o cateto adjacente sobre a hipotenusa
E o que é a tangente?
É o cateto oposto sobre o adjacente...
E depois venha até o circulo
aprenda coma gente...
Secante, cossecante e a cotangente
E aprenda matemática de uma forma diferente...

Reinaldo Pardal (Antonina - PR)

Aula de Matemática

  Aula de Matemática

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.

Antônio Carlos Jobim

O quociente e a incógnita

 O quociente e a incógnita

"Às folhas tantas do livro de matemática,
um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base.
Uma figura ímpar olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical.
"Eu sou a soma dos quadrados dos catetos,
mas pode me chamar de hipotenusa".
E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética,
corresponde a almas irmãs, primos entre-si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas,
curvas, círculos e linhas senoidais.
Nos jardins da quarta dimensão,
escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas
e os exegetas do universo finito.
Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim,
resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar,
uma perpendicular.
Convidaram os padrinhos:
o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro,
sonhando com uma felicicdade integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos
e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia.
Foi então que surgiu o máximo divisor comum,
frequentador de círculos concêntricos viciosos,
ofereceu-lhe,
a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade.
Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema,
ele era a fração mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser moralidade,
como, aliás, em qualquer Sociedade ..."

Millôr Fernandes

Frases Matematicas 1

Frases 

 

Números são como pessoas, torture e eles contam qualquer coisa.

"Matemáticos são máquinas de transformar café em teoremas."
-- Paul Erdõs (Hungarian mathematician, 1913-1996)

"Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso!"
-Gallagher

"Matemática é a arte de dar o mesmo nome para coisas diferentes."
-- Jules Henri Poincare (1854-1912)
(fonte: hcheng@gpu5.srv.ualberta.ca (Howard Cheng) )

Fácil ou difícil?

Fácil ou difícil?
 
 Existe uma história famosa sobre um matemático e físico, John von Neumann, conhecido por sua capacidade de fazer cálculos prodigiosos com uma rapidez mental enorme. Certo dia, um colega se aproximou dele com um quebra-cabeça cuja solução podia ser obtida por dois caminhos: um trabalhoso, com cálculos complicados, e um simples, uma solução do tipo "Ah!". Esse colega tinha uma teoria: nesses casos, o matemático descobre a solução trabalhosa enquanto o físico (mais preguiçoso, porém mais esperto) pára e descobre a mais rápida e fácil. Que solução von Neumann descobriria? Você conhece o quebra-cabeça: dois trens, a 160 quilômetros de distância um do outro, estão se aproximando pelos mesmos trilhos, um a 48 quilômetros por hora e o outro a 32. Um pássaro voando a 192 quilômetros por hora parte do trem A (quando eles estão distantes 160 quilômetros), voa até o trem B, faz a volta e retorna para o trem A que está se aproximando, e assim sucessivamente até os trens se chocarem. Quanto o pássaro tinha voado no momento da colisão? "Trezentos e oitenta e quatro quilômetros", von Neumann respondeu quase imediatamente. "Diabos!", replicou seu colega, "Previ que você faria isso da maneira mais difícil. " "Ai!", von Neumann gritou constrangido, batendo da testa. "Tem um jeito fácil!"
(Sugestão para facilitar a resolução: quanto tempo levou para os trens colidirem?)

Humor e paradoxos !

Paradoxo da vida

O jovem tem potência, tempo, mas não tem dinheiro; O coroa tem potência, dinheiro, mas não tem tempo; o velho tem tempo, dinheiro, mas não tem potência.

Paradoxo do preço

Tudo o que é bom e barato é raro; Tudo o que é raro tende a ser caro; logo, tudo que é bom e barato é caro!

Paradoxo do sexo

Se uma dama diz "não", ela quer dizer "talvez"; Se ela diz "talvez", ela quer dizer que "sim", Se ela diz "sim", ela não é uma dama.

Paradoxo da diplomacia
Se um diplomata diz "sim", ele quer dizer "talvez"; Se ele diz "talvez", ele quer dizer, ele quer dizer "não"; Se ele diz "não", ele não é um diplomata.

Paradoxo Divino
Deus é amor; O amor é cego; Cego é o Stevie Wonder; Stevie Wonder é Deus;

Paradoxo da matéria
Um queijo suíço tem buracos; Quanto mais queijo mais buracos; quanto mais buracos menos queijo; logo quanto mais queijo menos queijo.

Paradoxo da Matemática e Estatística -

Homem e Mulher Homem inteligente + mulher inteligente = Romance;
Homem inteligente + mulher burra = caso;
Homem burro + mulher inteligente = gravidez;
Homem burro + mulher burra = casamento.

Paradoxo da Matemática e Estatística - Chefe e Empregado
Chefe inteligente + Empregado inteligente = lucro;
Chefe inteligente + Empregado burro = produção;
Chefe burro + Empregado inteligente = promoção;
Chefe burro + Empregado burro = horas extra.

Paradoxo do preço
O homem paga 2000$00 por um produto de 1000$00 que precisa; a mulher paga 1000$00 por um produto de 2000$00 que não precisa

Paradoxo de perguntas difíceis
1- Porque é que SEPARADO se escreve tudo junto, e TUDO JUNTO se escreve separado?
2- Porque é que ABREVIATURA é uma palavra tão grande?
3- Porque é que os KAMIKASES usavam capacete?
4- Porque é que BILL CLINTON Só gosta de mulheres feias?
5- Qual é ideia de esterilizar uma AGULHA a um condenado que vai receber injecção letal?
6- A quem pedem informações os POLICIAS quando se perdem?
7- Qual a outra palavra para SINÓNIMO?
8- Porque é que não há comida para os GATOS com sabor a rato?
9- Porque é que um policia tem de dizer a um surdo mudo, quando o prende, que tem o DIREITO de ficar calado?
10- Se os VEGETARIANOS comem verduras, que comem os humanitários?
11- Porque é que as BAILARINAS andam sempre nas pontas dos pés? Não seria mais fácil contratar raparigas mais altas?
12- Qual a cor de um CAMALEÂO quando se vê ao espelho?
13- Quero comprar um BOOMERANG novo, como me livro do velho?
14- Porque é que as LOJAS que estão abertas 24h por dia Têm fechaduras?
15- Porque é que não fabricam os AVIÔES com o mesmo material das caixas negras?
16- Como pode o PATO DONALD ter sobrinhos, se não tem irmãos?

O que é um paradoxo ?

O que é um paradoxo?

  

    Em sentido amplo, «paradoxo» significa o que é «contrário à opinião recebida e comum», ou à opinião admitida como válida.

    Em Filosofia, paradoxo designa o que é aparentemente contraditório, mas que apesar de tudo tem sentido.

    Em Matemática, fala-se muitas vezes de paradoxo matemático ou paradoxo lógico, ou seja, de uma contradição deduzida no seio dos sistemas lógicos e das teorias matemáticas.

    No entanto, as fronteiras do conceito de paradoxo não estão muito bem definidas. As ideias de conflito ou de dificuldade insuperável parecem acompanhar de forma estável a ideia de paradoxo. Mas, demasiado gerais, elas podem servir também para caracterizar «antinomia» (que originariamente significava conflito entre duas leis) ou «aporia» («caminho sem saída»).

    Um paradoxo lógico consiste em duas proposições contrárias ou contraditórias derivadas conjuntamente a partir de argumentos que não se revelaram incorrectos fora do contexto particular que gera o paradoxo. Ou seja, partindo de premissas geralmente aceites e utilizadas, é (pelo menos aparentemente) possível, em certas condições específicas, inferir duas proposições que ou afirmam exactamente o inverso uma da outra ou não podem ser ambas verdadeiras.

    Os paradoxos são conhecidos e discutidos desde a antiguidade e o seu aparecimento tem impulsionado, em vários casos, um estudo mais rigoroso e profundo dos fundamentos da matemática.

Os paradoxos mais conhecidos: 

Paradoxo de Burali-Forti

    Trata-se de um paradoxo da teoria dos conjuntos. Sabe-se que a toda a boa ordem corresponde um único número ordinal . Também se sabe que todo o segmento inicial de ordinais forma uma boa ordem cujo número ordinal correspondente excede todos os ordinais desse conjunto. Considere-se a colecção de todos os ordinais. Esta colecção é uma boa ordem e, portanto, corresponde-lhe um ordinal A . Logo, A excede todos os ordinais e, em particular, excede-se a si próprio, o que é uma contradição.

    Na raiz deste paradoxo está o uso irrestrito do princípio da abstracção, o qual permite formar o conjunto A .

Paradoxo de Cantor

    Paradoxo de Cantor é o paradoxo da teoria dos conjuntos que se obtém devido a considerar-se a cardinalidade do conjunto V de todos os conjuntos. Por um lado, esta cardinalidade não pode ser inferior à cardinalidade do conjunto das partes de V, pois todas as partes de V são conjuntos e. portanto, formam um subconjunto de V. Por outro lado, o Teorema de Cantor diz – precisamente – que a cardinalidade de um qualquer conjunto é inferior à cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto.

    Na raiz deste paradoxo está também o uso irrestrito do princípio da abstracção , o qual permite formar o conjunto

Paradoxo do Mentiroso, de Epiménides ou do Cretense

    Epiménides é cretense e afirma que todos os cretenses mentem.

    Se Epiménides for cretense e se todos os cretenses mentem então, quando Epiménides afirma:

Todos os cretenses mentem

    Afirma uma proposição verdadeira. Portanto Epiménides não mente quando afirma que todos os cretense, incluindo Epiménides, mentem. V.

    Em consequência:

    1- Epiménides mente se e só se não mente (isto é, diz a verdade)

    2- Epiménides não mente (isto é, diz a verdade) se e só se mente.

Antinomia

    Muitas vezes, usam-se as palavras paradoxo e antinomia como sinónimos ou então consideram-se as antinomias como uma classe especial de paradoxos: os resultantes de uma contradição entre duas proposições, em que cada uma delas é racionalmente defensável.

     De uma forma geral, antinomia designa um conflito entre duas ideias, proposições, atitudes, etc.. Fala-se, por exemplo, de antinomia entre fé e razão, entre amor e dever, entre moral e política. Num sentido mais restrito, antinomia designa um conflito entre duas leis.

    O termo antinomia é, por vezes, utilizado para designar um conflito entre duas proposições, ou entre as consequências que delas advêm. A antinomia de duas proposições difere da contrariedade. Duas proposições podem ser contrárias sem que constituam uma antinomia, no entanto, ela surge quando se pretende provar a validade de cada uma delas.

    Especificamente, emprega-se o termo antinomia dentro da crítica Kantiana do sistema de ideias cosmológicas na Crítica da Razão Pura (1781). Kant (1724-1804) fala da «antinomia da razão pura que consiste em usar ideias transcendentes com o fim de obter conhecimentos relativos ao mundo». Kant salienta que "Uma tese dialéctica da razão pura deverá, por consequência, possuir algo que a distinga de todas as proposições sofísticas e é o seguinte: que não se ocupe de uma questão arbitrária, levantada apenas por capricho, mas de um problema que se depara necessariamente à razão humana na sua marcha; e, em segundo lugar, que apresente, como proposição contrária, não uma aparência artificial que logo desaparece desde que como tal se examina, mas uma aparência natural e inevitável que, mesmo quando já não engana, continua ainda a iludir, embora não a enredar, e que, por conseguinte, pode tornar-se inofensiva sem nunca poder ser erradicada." ²  Kant dá uma lista de quatro antinomias, divididas em dois grupos: antinomias matemáticas e antinomias dinâmicas. 

1ª Antinomia
    Tese: "O mundo tem um começo no tempo e é também limitado no espaço."
    Antítese: "O mundo não tem começo nem limites no espaço; é infinito tanto no tempo como no espaço."

2º Antinomia
    Tese: "Toda a substância composta, no mundo, é constituída por partes simples e não existe nada mais que o simples ou o composto pelo simples."
    Antítese: "Nenhuma coisa composta, no mundo, é constituída por partes simples, nem no mundo existe nada que seja simples."

3ª Antinomia
    Tese: "A casualidade segundo as leis da natureza não é a única de onde podem ser derivados os fenómenos do mundo no seu conjunto. Há ainda uma casualidade pela liberdade que é necessário admitir para os explicar."
    Antítese: "Não há liberdade, mas tudo no mundo acontece unicamente em virtude das leis da natureza."

4ª Antinomia
    Tese: "Ao mundo pertence qualquer coisa que, seja como sua parte, seja como sua causa, é um ser absolutamente necessário."
    Antítese: "Não há em parte alguma um ser absolutamente necessário, nem no mundo, nem fora do mundo, que seja a sua causa."

Contradição

    

    A noção de contradição é, geralmente estudada sob a forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «princípio de não contradição». Com frequência, tal princípio é considerado um princípio ontológico e, neste sentido, enuncia-se do seguinte modo:

    «É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo tempo, a mesma coisa». Outras vezes, é considerado como um princípio lógico, e então enunciado do modo seguinte: «não se pode ter p e não p», onde p é símbolo de um enunciado declarativo.

    O primeiro pensador que apresentou este princípio de forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Várias partes da sua obra estão consagradas a este tema, mas nem sempre o princípio é formulado do mesmo modo. Às vezes apresenta-o como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem de premissa para a demonstração, sem poderem ser demonstradas. Noutras ocasiões, apresenta-o como uma «noção comum», usada para a prova de algumas conclusões. Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a qual se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e se uma proposição é falsa, a sua negação é verdadeira, quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.

    Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações do mesmo princípio: ontológica, lógica e metalógica. No primeiro caso o princípio refere-se à realidade; no segundo, converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógica sequencial, que se enuncia do seguinte modo:
                                                                    ¬(p Ù ¬p)

e que se chama geralmente de lei de contradição. No terceiro caso, o princípio é uma regra que permite realizar inferências lógicas.

    As discussões em torno do princípio de contradição têm diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado lógico e metalógico. Quando se dá mais relevância ao lado ontológico, trata-se sobretudo de afirmar o princípio como expressão da estrutura constitutiva do real, ou de o negar  supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou que, no processo dialéctico da sua evolução, a realidade supera, transcende ou vai mais além do princípio de contradição (Hegel). Quando predomina o lado lógico e metalógico, trata-se então de saber se o princípio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma convenção da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade.

Contraditório

    

 relação de oposição que se dá entre proposições contraditórias, é a que se dá entre as proposições A-O e E-I. Segundo a relação de oposição contraditória, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.
    Portanto:

Se A é verdadeira, O é falsa.

Se A é falsa, O é verdadeira.

Se E é verdadeira, I é falsa.

Se E é falsa, I é verdadeira.

    A contradição respeita a proposições, não a ideias. As ideias não são contraditórias entre si; podem ser contraditórias apenas as proposições em que se afirma ou nega algo.

   Para saber mais sobre o significado das proposições A, E, I, O clique aqui. (página dos nossos colegas: Gonçalo e Cláudia)

Absurdo

    Absurdo significa contrário à razão. Habitualmente, chamamos absurdo ao que está fora do considerado «normal»ou que está contra ou se afasta do sentido «comum».

    É frequente falar-se de proposições absurdas ou crenças absurdas, com efeito, podemos conceber crenças absurdas e expressá-las em proposições que não têm um aspecto absurdo.

    É também frequente dar um sentido lógico –ou se quisermos, ilógico- a "absurdo", equiparando absurdo a ilógico. Neste sentido, surge a expressão "Redução ao absurdo", que designa um tipo de raciocínio, que consiste em provar uma proposição p, assumindo a falsidade de p e demonstrando que da falsidade de p se deduz uma proposição contraditória com p.

    Há, no entanto, uma outra acepção de absurdo, estritamente ligada a sem sentido. Por exemplo, quando falamos de um rectângulo redondo, um triângulo com quatro lados, substâncias imateriais, etc. estamos a falar de coisas sem sentido. Segundo alguns autores, estas situações não traduzem um erro mas antes uma situação em que as palavras carecem de significação, isto é, são absurdas.

3 = 0 ?

3 - Trois égal à zéro <=> 3 = 0 ?


On chercher une solution de l'équation x*x+x+1=0.
On fait passer 1 de l'autre côté : x*x+x=-1
On reprend l'équation de départ et on la multiplie par x : x*x*x+x*x+x=0
On simplifie avec la deuxième équation, on obtient : x*x*x-1=0
On fait passer 1 de l'autre côté : x*x*x=1
Donc x=1, en remplaçant x dans la première équation on trouve 3=0 !

2 - 1 = 0,99999999999999... ?

2 - 1 = 0,99999999999999... ?


Version 1 :
(1) a = 0,99999999999999...
(2) 10×a = 9,99999999999999...
(3) 10×a = 9 + 0,99999999999999...
(4) 10×a = 9 + a
(5) 10×a - a = 9
(6) 9×a = 9
(7) a = 1
Version 2 :
1 = 3 x (1/3) = 3 x 0.33333333333... = 0.99999999999...
Est ce possible ?

Quando 1=2 ?

1 - Un est égal à deux <=> 1 = 2 ?


Version 1 :
Posons a = 1, b = 1 (1) a = b
(2) a×a = a×b
(3) a×a - b×b = a×b - b×b
(4) a×a + a×b - a×b - b×b = b×( a-b )
(5) a×( a+b ) - b×( a+b ) = b×( a-b )
(6) ( a+b )×( a-b ) = b×( a-b )
(7) a+b = b
(8) 2 = 1
Version 2 : Posons 2=1+1
2x(2-1)=(1+1)(2-1)
Développons : 2x2-2x1=1x2+1x2-1x1-1x1
Passons 1x2 de droite à gauche : 2x2-2x1-1x2=1x2-1x1-1x1
Factorisons : 2x(2-1-1)=1x(2-1-1)
En simplifiant les 2 membres par le facteur (2-1-1), il reste alors : 2=1 Où est l'arnaque ?

Suites logiques à compléter

Suites logiques à compléter
(sélectionner la fin de ligne pour voir la solution)

0, 10, 1110, 3110, 132110 ? 13123110 : nombres de chiffre du précédent : 1 trois 1 deux 3 un...
4, 2, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 4 ? 4 : nombre de lettres de zéro,un,deux,trois...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ? 21 : suite de Fibonacci : somme des deux précédents
2, 3, 3, 5, 10, 13, 39, 43, 172, 177 ? 885 : séquence +1,x1,+2,x2,+3,x3...

Le compte est bon

Le compte est bon (sélectionner la fin de ligne pour voir la solution)
D'après le légendaire jeu télévisé : Les chiffres et les lettres
La contrainte ici est d'utiliser tous les chiffres. (il existe souvent de nombreuses solutions)

861 avec 3 4 4 5 10 7 -> Exemple ((3x10x7)+4)x4+5
556 avec 3 4 8 25 6 3 (((3+8) x 25 ) + 3 ) x ( 6 - 4 )
287 avec 8 10 4 3 8 5 ((8x10)+5)x3 + (4x8)
261 avec 25 4 3 7 25 3 ((7x25) - ((25-3)x4)) x 3
707 avec 6 9 3 25 9 10 ((6x9) - 10) x (25 - 9) + 3
598 avec 6 8 9 9 7 1 ((9x9)-1)x8 - (6x7)

Soma Supreendente

Addition surprenante :

1+2 = 3
4+5+6 = 7 + 8
9+10+11+12 = 13+14+15
16+17+18+19+20 = 21+22+23+24
...etc
Remarque : chaque ligne commence par les carrés des nombres entiers : 1,4,9,16..

Curiosidades do numero 153

Curiosidades do numero 153

 
1.- Es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos:

153 = 1.1.1 + 5.5.5 + 3.3.3

2.- Es igual a la suma de los factoriales de los números del 1 al 5:

153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!

3.- La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto:

1 + 5 + 3 = 9 = 3.3

4.- La suma de sus divisores (excluyendo al propio número) también es un cuadrado perfecto:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 92

Además, como se puede ver, es el cuadrado de la suma de sus dígitos.

5.- Dando la vuelta a las cifras de 153 obtenemos el 351. Si los sumamos obtenemos 504, que cumple que su cuadrado es el número más pequeño que puede ser expresado como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas:

153 + 351 = 504
504 2 = 288 · 882

6.- Puede ser expresado como la suma de todos los números enteros del 1 al 17:

153 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15 + 16 + 17

Esto significa que 153 es el decimoséptimo número triangular. Como su inverso, 351, también es un número triangular (suma del 1 hasta el 26) podemos decir que 153 es un número triangular invertible.

7.- Es un número de Harshad (o número de Niven), es decir, es divisible por la suma de sus dígitos:

153/(1 + 5 + 3) = 17
Como 351 también es un número de Harshad podemos decir que 153 es un número de Harshad invertible .

Los números de Harshad fueron definidos por el matemático indio D. R. Kaprekar.

8.- Puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos:

153 = 3 · 51

9.- El número 135, formado por una recolocación de los dígitos de 153, puede ser expresado de esta curiosa forma:

135 = 11 + 32 + 53

10.- La suma de todos los divisores de 153 es 234:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 + 153 = 234

El producto de todos los divisores de 153 excepto el propio número es 23409:

1 · 3 · 9 · 17 · 51 = 23409

Y vemos que 23409 está formado por 234, que es la suma de todos los divisores de 153, y por 09, que es la raíz cuadrada de la suma de todos los divisores de 153 excepto el propio número (ver 4.-).

11.- Tomemos un número múltiplo de 3, elevemos al cubo cada una de sus cifras y sumemos esos cubos. Repitamos el proceso con el resultado obtenido. Al final llegaremos al 153. Veamos un ejemplo con el número 1011:


13 + 03 + 13 + 13 = 3
33 = 27
23 + 73 = 351
33 + 53 + 13 = 153

Podemos decir que a partir del 1011 alcanzamos el 153 con 4 ciclos y podemos representarlo así:

1011–>3–>27–>351–>153

Todos los números menores de 10000 llegan con este procedimiento al 153 en, como máximo, 13 ciclos. El número más pequeño que necesita 13 ciclos es el 177:

177–>687–>1071–>345–>216–>225–>141–>
–>66–>432–>99–>1458–>702–>351–>153

12.- La sumas de las potencias 0, 1 y 2 de sus dígitos es igual al producto de ellos:

10 + 51 + 32 = 1 · 5 · 3

13.- Si π(x) (Pi(x)) representa el número de primos que hay menores que x, se cumple lo siguiente:

π(153) = π(15) · 3! (Pi(153) = Pi(15) · 3!)

14.- En 6.- hemos visto que 153 es el número triangular número 17. Trabajemos con su inverso:

1/153 = 0,006535947712418300653594…

Vemos que es periódico de período 0065359477124183. Quitemos los dos ceros y consideremos el resto. Unamos esta información con la posición que ocupa el 153 entre los números triangulares, la 17. Multipliquemos ahora esa parte del período por los sucesivos múltiplos de 17. Obtenemos lo siguiente:

65359477124183 · 17 = 1111111111111111
65359477124183 · 34 = 2222222222222222
65359477124183 · 51 = 3333333333333333
65359477124183 · 68 = 4444444444444444
65359477124183 · 85 = 5555555555555555
65359477124183 · 102 = 6666666666666666
65359477124183 · 119 = 7777777777777777
65359477124183 · 136 = 8888888888888888
65359477124183 · 153 = 9999999999999999

A curiosidade do número 142857

 Multiplicando o numero 142857 por 7 temos 999999

Multiplicamos 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos como resultados os mesmos numeros mas em ordem invertidas como se ve logo abaixo:


1 *142857 = 142857
2 * 142857 = 285714
3 * 142857 = 428571
4 * 142857 = 571428
5 * 142857 = 714285
6 * 142857 = 857142

E se dividirmos tambem ,

1/7 = 0.142857 142857 142857 14…(1 * 142857 = 142857)
2/7 = 0.285714 285714 285714 28… (2 * 142857 = 285714)
3/7 = 0.428571 428571 428571 42… (3 * 142857 = 428571)
4/7 = 0.571428 571428 571428 57… (4 * 142857 = 571428)
5/7 = 0.714285 714285 714285 71… (5 * 142857 = 714285)
6/7 = 0.857142 857142 857142 85… (6 * 142857 = 857142)


mas ...


142+857=999
143*999=142857
1428572 = 20.408.122.449, y 20.408 + 122.449 = 142.857

Faça história na matemática

Faça história na matemática

    Você poderia descobrir o mais desejado feito de toda a matemática: um novo número primo de Mersenne. A Electronic Frontier Foundation está oferecendo $100,000,00 para a primeira pessoa ou grupo que descobrir o décimo milionésimo dígito de um número primo! Você pode encontrar maiores informações em www.mersenne.org

Para mais informações sobre números primos, acesse: http://primes.utm.edu/

Matemático resolve problema centenário e recusa US$ 1 milhão

 

Grigory Perelman levou 10 anos para resolver a conjectura de Poincare

22 de agosto de 2006

Um gênio russo ganhou um dos maiores prêmios mundiais de matemática nesta quinta-feira ao resolver um dos sete "problemas do milênio". Grigory Perelman, 40 anos, levou 10 anos para resolver a conjectura de Poincare, que descreve o formato do universo e intriga especialista há pelo menos 100 anos. 

  » Opine sobre assunto
 
Perelman, que divide o aluguel de US$ 74 com a mãe e está desempregado desde dezembro, recusou o prêmio de US$ 1 milhão a ser entregue pelo próprio rei da Espanha e alega que não fez nada de extraordinário.
"Eu não acho que eu seja de interesse público", disse o matemático ao London Telegraph. "Eu não falo isso por causa da minha privacidade, não tenho nada a esconder. Só acho que o público não deve se interessar por mim. Jornais deveriam ter mais discernimento sobre o que publicar, deveriam ter mais requinte. Até onde eu sei, não ofereço nada que acrescente à vida dos leitores", completou.
Depois de 10 anos de trabalho, o modesto Perelman, ao invés de publicar seu achado em um importante jornal, jogou tudo em uma página da Internet, para que todos tenham acesso. "Se alguém tiver interesse na solução do problema, está tudo lá. Deixe-os pesquisar livremente."
Perelman vive recluso em São Petersburgo e mantém-se afastado da mídia. "Publiquei meus achados. É isto que ofereço ao público."

A solução do problema pode ser vista nos sites 

http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159
http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 
http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245. 
Devido ao tráfego intenso, pode haver instabilidade no acesso aos links.
Com agências internacionais

A materia pode ser vista completa no Site Terra Terra

Reflexões Sobre as Possíveis Causas do Fracasso Escolar em Matemática

Reflexões Sobre as Possíveis Causas do Fracasso Escolar em Matemática Autor: Silvio Gomes Bispo Data: 20/08/2008

O Ensino de Matemática passa por mudanças em todos os documentos oficiais. Apesar das indicações legais, na prática de muitos professores é um trabalho na perspectiva de exposição, exercícios e provas, perdendo a definição das palavras que compõem "matemática": MATHEMA - pensar e TICA - técnica. Logo, etimologicamente, ensinar Matemática significa ensinar a pensar. Porém, o que vemos é bem diferente e este tipo de ensino - sem pensamento ou sem reflexão - está levando ao fracasso escolar continuado. Sabe-se que na escola ensinar matemática ocupa um espaço significativo na formação dos alunos de 1ª a 4ª série, pois cerca de 20% do currículo escolar são utilizados na aprendizagem de matemática. Entretanto, os resultados daí obtidos são bastante ruins. Além disso, o componente curricular matemática é capaz de significar grande incidência de reprovação e de abandono da escola. Essas informações refletem a quem tem servido o tipo de ensino usual de matemática e, logicamente, os resultados insatisfatórios dos alunos. Procurando refletir sobre o processo ensino-aprendizagem de Matemática, trataremos das metodologias de ensino propostas e com freqüência adotadas em grande parte das escolas públicas. MATEMÁTICA TRADICIONAL Sabe-se que os pensadores matemáticos da Grécia Antiga faziam parte de uma elite forte e de uma hierarquia em que a democracia era privilégio de poucos, uma vez que mulheres e escravos eram tratados como sub-raça, como cita Machado (1987:11): ...Na sociedade grega o trabalho dos escravos fácil de se obter e cujo rendimento não importava melhorar por meio de aperfeiçoamentos técnicos, permitia à elite dirigente um alheamento da realidade concreta. Esta estrutura social imprimiu um caráter original à matemática grega, onde acentuado era o desdém pelas aplicações práticas. [Grifos meus] Nessa concepção inicial de ensino de matemática, esta ciência era tratada como um conhecimento racional dedutivo e demonstrativo, sendo capaz de mostrar que a verdade é necessária e universal em seus enunciados e resultados não deixando dúvidas. Tinha como princípios as definições, os postulados e as noções comuns (axiomas). Porém, os primeiros indícios da construção do conhecimento matemático de uma forma experimental ocorreram com os povos egípcios (2500 até 320 a.C.) e babilônicos (1800 até 600 a.C.). Esses povos usavam a matemática para resolução de problemas práticos geralmente ligados ao comércio, ao cálculo de impostos, à construção de casas. Essa divergência conceitual levou nesta época a dividir a matemática em dois estilos, uma matemática formal e outra matemática utilitária. D' Ambrósio (1996) explicita essa divisão ao referir-se que Platão distinguia claramente uma matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, mas não para intelectuais, para quem defendia uma matemática abstrata, fundamental para aqueles que seriam os dirigentes, a elite. Este tipo de visão da matemática que implica um ensino abstrato sem vinculação com o cotidiano, que acredita numa ciência de especulação intelectual, não mantendo qualquer ligação com o cotidiano, sendo desenvolvida apenas por um pensamento idealista, se apresenta na prática de muitos professores. É justamente essa a visão que leva muitos alunos ao fracasso escolar. Além desta forma de conceber o ensino de matemática que se apresenta dominante, temos ainda como agravante da situação de ineficiência do ensino e da aprendizagem desta ciência, a falta de preparo dos professores que utilizam grande autoritarismo e dogmatismo para impor sua visão, proporcionando às pessoas aversão por esta disciplina. Lima (1995:4) considera que tal situação advém do fato de o aluno passar os anos escolares nas mãos de professores incapazes que muitas vezes usam a arrogância, a ironia e a humilhação como disfarces para sua ignorância e com isso provocam a aversão à matéria que deviam ensinar. Como esta prática está arraigada na forma de professores apresentarem conteúdos matemáticos, criam-se ressentimentos, como no caso de o professor solicitar aos alunos que prestem atenção para raciocinarem juntos, porém faz todos os procedimentos que os alunos devem adotar e oferece as respostas antes dos alunos começarem a pensar. Para justificar posturas como essas, os professores dizem, com freqüência, que os alunos das escolas públicas por serem pobres não têm condições de aprender. Além disso, os professores costumam apresentar procedimentos didáticos como o seguinte: numa postura mecânica e autoritária supõem "dar" o conhecimento matemático aos alunos numa relação centrada em si ou na matemática em que só o professor ensina e só o aluno aprende. Neste tipo de ensino chamado de tradicional, os fatos são apresentados de forma ilustrativa, com uma mesma forma verbal, pronta e repetitiva, com o intuito de imprimir uma aprendizagem com base na reprodução memorativa. Este tipo de ensino tem vigorado no Brasil desde os jesuítas. Na década de 70 supôs-se que havia sido superado, mas tratava-se de um ledo engano. MATEMÁTICA MODERNA No início dos anos 70, vem para o Brasil um movimento chamado de "matemática moderna" que veio como substituto da "matemática tradicional". Esta forma de abordagem do conteúdo matemático no ensino ainda tem estado presente em livros didáticos atuais. É interessante observar o que dizia a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional N. 5692/71 (p.171) sobre o ensino na perspectiva desta matemática moderna: ... Esse assunto tem dado oportunidade a muitas polêmicas, a nosso ver estéreis. Pensamos que todo problema se resume na infeliz escolha do nome: Matemática Moderna. A Matemática não é moderna, nem clássica, é simplesmente a Matemática. Ocorre que, como muitas outras ciências, ela experimentou nos últimos tempos uma evolução extraordinária, provocando uma enorme defasagem entre a pesquisa e o ensino da matéria. O que deve ser feito, e isso é importante, é uma reformulação radical dos programas, para adaptá-los às novas concepções surgidas, reformulação essa que deve atingir as técnicas e estratégias utilizadas para obtenção dos objetivos propostos. Nessa acepção, achamos que o movimento que levou a uma orientação moderna no ensino de Matemática é irreversível (sic), no sentido de um maior dinamismo na aprendizagem da mesma, em contraste com a maneira estática como era apresentada. Sentimos, portanto, que a orientação dada a um curso de Matemática deve ser moderna e, para isso, é necessário que se dê ênfase, no estudo da matéria, a certos aspectos que visam destacar a indiscutível unidade da matemática, mostrando-a como uma construção única sem compartimentos estanques. Dentre esses aspectos, gostaríamos de evidenciar dois deles, que consideramos de importância fundamental: o papel central desempenhado pelas estruturas matemáticas, estruturas essas que podem ser evidenciadas no estudo dos campos numéricos bem como na geometria, e o importantíssimo conceito de relação e, mais especificamente, o conceito de função, que pode ser abordado não só no estudo de funções numéricas, como também no estudo das transformações geométricas. Além disso, é de importância primordial destacar o papel do raciocínio matemático. A Matemática Moderna nessa concepção estava inserida numa política que buscava a modernização econômica e desta maneira foi colocada como "linha de frente", ao ser considerada via de acesso privilegiado para a "ciência moderna". A Matemática, nessa visão, possuía uma lógica, compreendida a partir de estruturas que ofereciam um papel fundamental à linguagem matemática. Apesar dos problemas de ensino e de aprendizagem decorrentes da matemática moderna, esta foi importante no sentido da pesquisa de novos materiais e métodos de ensino. Apesar da clara necessidade apontada pela Matemática Moderna de se sair do ensino tradicional, esta forma de ensinar matemática possibilitou que se evidenciassem distorções em seu âmbito acarretando os seguintes problemas: A teoria dos conjuntos é tomada como base para a introdução de conceitos, tais como número cardinal, adição de números naturais, múltiplos comuns e outros. O recurso a esses elementos não tem uma função essencial para esclarecer os significados desses conceitos no nível de ensino considerado; ao contrário, obscurece esses significados com um formalismo precoce e desnecessário. Abstrações como "conjunto vazio" e "conjunto infinito" são inadequadas para o Ensino Fundamental. A desvalorização da geometria é perceptível através de textos que não apresentam articulação desta com os demais conteúdos, reduzindo-a a definições de formas geométricas e à apresentação de fórmulas. O ensino das operações com números naturais se dá por meio de treinamento de técnicas operatórias. A formalização precoce das propriedades estruturais das operações. O tratamento desarticulado de tópicos inter-relacionados. A ausência de explicitação da lógica subjacente aos processos matemáticos. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA O saber pensar matemático certamente se dará quando a matemática for trabalhada de forma criativa, crítica e contextualizada. O "o que" e o "como fazer" precisam ser repensados tendo-se em vista o "para que" e o "quando" fazer Educação Matemática. Todos sentimos, no nosso dia-a-dia, que há mudanças profundas em toda a sociedade: nas relações trabalhistas, sociais, éticas, religiosas e, como conseqüência, na relação Escola-Sociedade. Para que esta transformação aconteça de uma maneira humana, justa e democrática, precisamos de cidadãos conscientes, críticos e inovadores e não apenas de mão-de-obra qualificada. Nesse processo, o professor é chamado a proporcionar condições de ocorrência das mudanças desejáveis e imprescindíveis, buscando preparar seus alunos para toda essa transformação. Porém, antes de tudo, o professor precisa estar preparado para tanto. A situação usual dos professores perante a mudança social é comparável a uma cena envolvendo um grupo de atores vestidos com um traje de determinada época do passado, em relação aos quais e à cena, sem qualquer prévio aviso, se muda o cenário na metade do palco, desenrolando um novo pano de fundo sobremaneira diferente do cenário anterior que contrasta e se torna grotesco. No dizer de Vasconcellos (1996:33), o problema reside em que, independentemente de quem provocou a mudança, são os atores que dão a cara. São eles, portanto, que terão que encontrar uma saída honrosa, ainda que não sejam os responsáveis. Em virtude dessas mudanças no contexto histórico-social, disciplinas como história, geografia, português e literatura, oportunizam aos professores uma freqüente atualização de conhecimentos e embora estas disciplinas ainda deixem muito a desejar com relação a propósitos político pedagógicos, tem havido progresso e aceitação geral da importância disto. Porém, como observa D'Ambrósio (1997:87), em matemática ainda há muita incompreensão a esse respeito. A Educação Matemática propõe algumas reformas no âmbito do ensino e da aprendizagem que são principalmente as seguintes: - Enfatiza o direcionamento do ensino fundamental para proporcionar aos educandos competências básicas e de forma não-propedêutica; - Procura fazer com que o aluno tenha um papel ativo na construção de seu conhecimento; - Enfatiza a Matemática pela Resolução de Problemas partindo do cotidiano dos alunos, além de correlacionar a Matemática com outras áreas do currículo; - Mostra ao aluno a necessidade de compreender a importância do uso da tecnologia. Apesar de propostas como essas visarem a melhora do aprendizado de Matemática pelos alunos, o que continuamos a confrontar é um ensino que determina o fracasso continuado dos alunos. O ENSINO DE MATEMÁTICA VISA A EXCLUSÃO OU A INCLUSÃO SOCIAL? A pergunta que faço, apesar das mudanças, é justamente esta: para que se ensina matemática? Para excluir ou incluir pessoas numa sociedade em transformação? Que matemática é essa que está desvinculada da sociedade no ensino que é desigual?!?!. Observamos que a ciência se desenvolveu de forma assustadora, a tecnologia tomou conta do mundo, o Brasil tornou-se uma potência na economia, porém, apesar de toda a evolução econômica o que ainda vemos é um País em que poucos têm muito e muitos nada têm. Nas décadas de 60 e 70, acreditava-se que para promover a justiça social era apenas necessário que se oferecessem condições de acesso e permanência a todos na escola e lhes garantissem condições de trabalho; assim, conseguiríamos superar as "desigualdades sociais". Essa é uma visão ingênua da escola, pois sabemos que - embora haja acesso escolar em grande parte do Estado de São Paulo - é duvidosa a permanência e o sucesso dos ingressantes. O que vemos, na verdade, na escola, é um número muito grande de matriculados que, na maioria das vezes, saem da escola ou porque entram no mercado de trabalho ou porque são excluídos dela própria devido ao tipo de aula recebida e ao tipo de processo em que foram envolvidos nela. É fato que muitos alunos da escola pública não recebem qualquer preparação para o mercado de trabalho, além de terem aulas completamente desvinculadas do seu cotidiano, o que os leva justamente a questionar a sua necessidade em estar na escola. Outro fato importante é que o modelo imposto de sociedade leva os alunos a refletir sobre o que eles devem esperar da escola, já que muitas pessoas que têm formação universitária estão desempregadas, justamente numa sociedade em que o professor que deveria ser um exemplo de profissional bem sucedido, muitas vezes, é visto como um "ser menor" que sofre agruras pela profissão que escolheu. É lógico que esses valores que são inculcados acabam sendo ratificados pela mídia quando esta mostra e ratifica situações na tela da TV. Com tudo isso, a escola ao invés de eliminar as injustiças sociais acaba por reproduzi-las, como ressalta Silva (1992:78), nos seguintes termos: De uma forma ou de outra, o conteúdo escolar, o currículo da educação escolar, o currículo declarado ou implícito, o conhecimento oficialmente transmitido e as atitudes explicitamente cultivadas ou o conhecimento subjacente e as virtudes ocultamente inculcadas, tudo isso se torna agora problemático e problematizável. E a matemática, o que tem a ver com isso? Tem muito a ver, pois o ensino de matemática, apesar das mudanças supostamente ocorridas da passagem da matemática tradicional para matemática moderna e em seguida para a educação matemática, mudanças ocorridas apenas no papel, a grande maioria das práticas de ensino tem sido feita somente através de "exemplos no quadro negro", com repetições várias do mesmo tipo de exercício. Ensinamos conteúdos que os alunos nunca irão aplicar na escola, discutimos - por incrível que pareça! - se devemos usar ou não calculadora na sala de aula, enquanto já deveríamos estar usando computadores em todas as escolas públicas. Dessa maneira, reduzimos a prática pedagógica em matemática baseados no treinamento e na mera memorização, deixando de lado criatividade, questionamento, capacidade de argumentação e, principalmente, a capacidade de reflexão ou de raciocínio dito lógico-matemático. Uma decorrência imediata - e cada vez mais alarmante - dessa forma de ensinar-aprender matemática é o fracasso escolar, pois esse fracasso não consiste apenas em "passar" ou "reprovar", posto que podemos ver, pela formação de ciclos na rede estadual paulista, os alunos na verdade receberem "promoção automática". Isto advém do princípio de Promoção Continuada implantado a partir de 1998, que orientava pedagogicamente para que o aluno, ao obter avaliações insatisfatórias, fosse encaminhado imediatamente para recuperação paralela ou intensiva, mas na prática o que víamos/vemos é os alunos ao serem encaminhados para tal recuperação, não comparecem a essas aulas, uma vez que nesses espaços pedagógicos de retomada do processo de ensino e de aprendizagem encontra-se o mesmo tipo de ensino que ele teve nas aulas regulares e que não lhe interessa nem o estimula. Isto significa que se busca, irracionalmente, "recuperar alunos" insistindo na repetição, intensificando a memorização dos mesmos algoritmos e das mesmas fórmulas mal sucedidas. Além disso, geralmente essas "aulas de recuperação" ocorrem em locais completamente inadequados como pátios, refeitórios, cubículos e salas improvisadas, sem que se dê atenção às condições de ensino necessárias para a retomada imprescindível do ensino com alunos que precisam aprender.Além do problema estrutural apontado, vejo também o grave problema do ensino de matemática que decorre da ausência de quaisquer relações da matemática com o cotidiano, deixando de esta ciência ser tratada como linguagem, ou mesmo como instrumento de compreensão do mundo, nos termos de Freire (1998:26) quando diz: Não temo dizer que inexiste validade no ensino de que não resulta um aprendizado em que o aprendiz não se tornou capaz de recriar ou refazer o ensinado. O currículo de matemática encontra-se repleto de conteúdos sem significados tanto para o aluno como para o professor, conteúdos esses que exigem altos níveis de abstração e que não fazem a menor ligação ou sentido com a realidade dos alunos. Muito embora não acredite que devam ser ensinados apenas conteúdos que serão "utilizados no supermercado", expressando uma visão pragmática de ensino, assumo que o aluno deve ter consciência ou entendimento do conhecimento acumulado pela humanidade. Contudo, esses conhecimentos devem estar contextualizados, de forma tal que o aluno possa saber de onde veio e qual sua importância histórica. Penso ser importante - e talvez imprescindível - trazer para as aulas de matemática as suposições, as argumentações, os sentidos e os significados efetivos dos raciocínios lógico-matemáticos. De outra forma, ao meu ver, os documentos oficiais - desde a LDB 9394/96 - colocam como objetivo principal a formação do cidadão, embora precisemos entender que cidadania é essa. A orientação expressa nos Parâmetros Curriculares Nacionais diz ser preciso compreender a cidadania como participação social e política, assim como exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando, para tanto, no dia a dia, atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito. Observando um pouco mais atentamente essa orientação, vale pôr em questão que direitos e deveres são esses numa sociedade tão desigual, em que os dominantes têm o poder sobre os meios de produção, onde há controle da informação e das decisões políticas que estão sempre nas "mãos deles". Então, se faz necessário refletir sobre a cidadania que estamos produzindo e que cidadania precisamos construir na escola, uma vez que a educação não é neutra e toda ação que desenvolvermos na escola tem implicação política. Desta maneira, acredito que o ensino de matemática deve favorecer a percepção da realidade pelos alunos na busca da construção de seres humanos mais críticos. Por meio da matemática podemos discutir e entender de política e economia, desde que se venha a ensinar formas de leitura compreensiva de jornais e revistas ou a oferecer uma leitura mais crítica da televisão, utilizando-se gráficos, índices, além de proporcionar aos alunos oportunidades de entender certos aspectos das relações com a tecnologia. Venho enfocando o âmbito geral da matemática, mas considerando sob enfoque, mais atentamente, as séries iniciais da escolaridade, nas quais se evidencia claramente o fracasso, apontado em vários momentos. Isto passa a ser compreensível quando vemos que muitos professores trabalham na linha "arme e efetue", deixando de desenvolver nos alunos sua capacidade de raciocínio, sua criatividade, tornando-os meros reprodutores de um conhecimento descontextualizado e sem sentido. Esse fracasso é apontado nos resultados do SAEB - Sistema de Avaliação da Educação Básica. Nesse processo avaliatório definiram-se os seguintes critérios, conforme podemos observar no quadro abaixo: Quadro 1. Construção de competências e desenvolvimento de habilidades na resolução de problemas em cada um dos estágios para a 4ª série do ensino fundamental. Muito Crítico Não conseguem transpor para uma linguagem matemática específica, comandos operacionais elementares compatíveis com a 4ª série (não identificam uma operação de soma ou subtração envolvida no problema). Os alunos nesse estágio não alcançaram o nível da escala do SAEB. Crítico Desenvolvem algumas habilidades elementares de interpretação de problemas aquém das exigidas para a 4ª série (identificam uma operação envolvida no problema). Os alunos neste estágio alcançaram os níveis 1 e 2 da escala do SAEB. Intermediário Desenvolvem algumas habilidades de interpretação de problemas porém insuficientes ao esperado para os alunos da 4ª série (identificam, sem grande precisão, até duas operações). Os alunos nesse estágio alcançaram os níveis 3 ou 4 da escala do SAEB. Adequado Interpretam e sabem resolver problemas de forma competente. Apresentam as habilidades compatíveis com a 4ª série (reconhecem e resolvem operações com números racionais, de soma, subtração, multiplicação e divisão). Os alunos nesse estágio alcançaram níveis 5 ou 6 da escala do SAEB. Avançado São alunos maduros. Apresentam habilidades de interpretação de problemas num nível superior ao exigido para a 4ª série (reconhecem, resolvem e sabem transpor para situações novas, todas as operações com números racionais envolvidas num problema). Os alunos neste estágio alcançaram o Nível 7 da escala do SAEB. Pelos dados obtidos observamos que 12,5% dos alunos estavam no estágio "muito crítico", 39,8% estavam no estágio "crítico", 40,9% estavam no estágio "intermediário", 6,8% dos alunos estavam no estágio "adequado". Contudo, não se encontrou ninguém (0,0%) no estágio "avançado".Dessa maneira, podemos perceber que as habilidades em Matemática dos alunos, geralmente, estão muito aquém do que seria esperado para um desempenho mediano e mesmo muito abaixo das esperadas para a 4ª série. Para se ter idéia mais clara, os estudantes são via de regra incapazes de calcular o resultado de uma adição de números naturais com três algarismos. Nesse contexto de investigação para avaliação, percebeu-se ainda que cerca de 40% dos alunos pesquisados desenvolvem habilidades que os caracterizam no nível de alunos de 2ª e 3ª séries do ensino fundamental, pois resolvem problemas do cotidiano envolvendo apenas pequenas quantias de dinheiro. Na busca de superação desta conjuntura, segundo o INEP (Instituto Nacional de Estudos Pedagógicos), o caminho para a melhoria do ensino da Matemática nas escolas brasileiras depende, principalmente, da melhor capacitação dos professores. É crucial que eles estejam bem preparados, e isso significa dominar o conteúdo daquilo que deve ser ensinado e conhecer as melhores estratégias para o ensino. Nestes termos, para os sistemas de ensino, seria essencial aproximar a pesquisa em educação matemática das séries iniciais. Como se põe nesta afirmação referida acima, ao meu ver, o ensino-aprendizagem da Matemática não deve restringir-se à mera automatização de procedimentos. Os alunos precisam ser incentivados a resolver um significativo número de problemas, raciocinando principalmente sobre situações do cotidiano da realidade na qual se inserem. As atividades pedagógicas, em sala de aula ou fora dela, devem promover a reflexão dos estudantes para render bons frutos na direção da formação cidadã desejada. www.pedagogia.com.br

A Geometria do Futebol: um Facilitador no Ensino Aprendizagem

A Geometria do futebol: Um facilitador no ensino aprendizagem

O objetivo desta monografia foi trabalhar os conceitos geométricos no futebol. Mostrar que a Matemática, em particular, a Geometria, pode ser uma ferramenta para interpretar uma partida de futebol e suas características, ou seja, mostrar que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso. Através de uma análise detalhada de vários autores, mostraremos que a Matemática, em especial a Geometria é uma ciência muito interessante, muito importante no nosso dia-a-dia e muito instigante. Porém nossa sociedade coloca a Matemática como uma disciplina complicada, difícil e aterrorizante. Através da Educação Matemática podemos demonstrar o contrário, podemos mostrar como a Matemática, a Geometria é fascinante, gostosa e útil. Sendo a Geometria um ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ela é um caminho para desenvolver o pensamento e a compreensão para alcançar o nível mais alto de uma teoria formal. Já que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, temos que usar nossa imaginação e mostrar como a Geometria está presente no nosso dia-a-dia, em todos os lugares: principalmente nos campos de futebol, nas quadras de esporte, na arquitetura, na engenharia, nas embalagens dos produtos, no artesanato e na tecelagem, por isso a Geometria é descrita como um corpo de conhecimento fundamental para a compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual.

Palavras-chaves: Futebol; Geometria; Esquemas táticos; Aplicações.

INTRODUÇÃO

Trata-se no presente trabalho dos conceitos geométricos, em especial os conceitos da Geometria Plana aplicados ao futebol de um modo geral. Mostra a Geometria de outra maneira, ou seja, uma Geometria aplicada a um esporte que é a paixão nacional. Vamos trabalhar Geometria falando a linguagem do aluno e abordando assuntos discutidos a todo instante. Associamos um esporte popular, de massa, a uma disciplina que é considerada difícil, chata, aterrorizante, que poucos gostam, ou seja, a Matemática.
Quem nunca ouviu falar do quadrado mágico que foi rotulado pelos jornalistas e treinadores de todo o mundo com referência a qualidade dos jogadores brasileiros na Copa do Mundo de Futebol realizada na Alemanha em 2006. As triangulações sempre citadas nos comentários de qualquer partida de futebol. Os esquemas táticos: 4-4-2, 3-5-2, 4-3-3, alguém já analisou o desenho geométrico, ou seja, as figuras que esses esquemas formam?

O objetivo desta monografia foi trabalhar os conceitos geométricos no futebol. Mostrar que a Matemática, em particular, a Geometria, pode ser uma ferramenta para interpretar uma partida de futebol e suas características, ou seja, mostrar que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso.

Inicialmente esclareceremos como é a Educação Matemática que temos que abordar nos dias atuais. Após, serão tratados alguns conceitos matemáticos, em especial alguns tópicos de Geometria Plana. Por fim abordaremos a parte aplicada ao futebol, desde a bola de futebol, o campo de jogo, suas medidas, algumas curiosidades e as diferentes variações táticas de diversos times de futebol.

Deste modo o presente trabalho será de grande valia, pois pode - se trabalhar de uma forma diferente um assunto que é visto por todos como de difícil entendimento. Ensinar com criatividade, baseando-se no dia - a - dia do aluno, mostrando que a Matemática especificamente a Geometria, não são apenas fórmulas e cálculos.

Educação Matemática

A Educação Matemática não pode ser aquela baseada apenas nas teorias dos livros, das apostilas ou do quadro negro. Hoje o contexto atual exige uma educação muito mais complexa, completa, ou seja, uma educação que atinja o mundo de uma forma global.

...chama-se a atenção para a necessidade de se relacionar a matemática com os demais setores da sociedade, sobretudo reconhecendo os novos desenvolvimentos das ciências e da tecnologia. O grande desafio que nós, educadores matemáticos encontramos é tornar a matemática interessante, isto é, atrativa, relevante, isto é útil; e atual, isto é, integrada no mundo de hoje (D?AMBRÓSIO, 2001, p. 14 - 15).

Assim é na Educação Matemática que encontramos o apoio necessário para tal transformação.

A educação matemática que queremos é aquela que se estenda muito além dos muros da escola do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e do Ensino Superior, que forme educadores e pesquisadores em Ensino de Matemática comprometidos com o ensino formal e não formal (FAINGUELERNT, 2004, p. 07 ).

Diante disto a importância da Educação Matemática se mostra presente. O próprio cotidiano do aluno exige do professor tal tipo de adaptação. Atualmente o que importa é tornar o ensino prazeroso, interessante, criativo e o mais próximo possível da realidade do aluno.

Não há dúvida que numa atividade cujo objetivo é a formação do indivíduo, como é o caso do ensino, não se pode abrir mão do acesso ao conhecimento científico. Mas, levar em consideração as diversas visões deste conhecimento, introduz uma nova concepção de formação, uma formação cuja referência é ao mesmo tempo a ciência e o senso comum. ( MAIA, 2000a, p.25 ).

É importante considerar também que não se deve apenas valorizar o conhecimento científico em detrimento do conhecimento popular, ou seja, o conhecimento científico é muito importante, mas não se pode ignorar o conhecimento popular do aluno, ou seja, falar a linguagem do aluno, aproximar ao máximo da realidade dele.

A Dificuldade de aprendizagem da Geometria

Matemática, Geometria, fórmulas, números, letras, figuras, áreas, volumes, medidas, etc, normalmente são encaradas pelos educandos como um verdadeiro castigo, uma disciplina aterrorizante, que é imposta aos alunos, com muita teoria, muitas fórmulas e pouca prática. Com isso os alunos já chegam traumatizados, com medo, detestando sem nem mesmo conhecer. Já chegam com uma barreira, um obstáculo, sem saber o que é.

O papel do educador é fazer com que esse mito de ser uma disciplina difícil, complicada, com muitas fórmulas apenas e desinteressante, não condiz com a realidade. Temos que mostrar o lado bom da Matemática, da Geometria, as aplicações, instigar o aluno a usar a Matemática para facilitar sua vida no cotidiano. Para isso é preciso inovar, criar, usar e abusar da criatividade para que possamos fazer com que o aluno se interesse por essa disciplina empolgante.

As apostilas, os livros, ou seja, o material didático também contribui significativamente para um ensino deficiente, faltam mostrar as aplicações, com isso tornando o ensino prazeroso e interessante aos alunos.

...alguns livros didáticos também contribuem para a origem de vários problemas, pois as situações de ensino apresentadas naqueles que analisamos e que são propostas para os alunos, de maneira geral, pela maioria dos professores, não enfatizam suficientemente a coordenação de registros de representação semiótica e a importância da figura para a visualização e exploração. Os problemas geométricos propostos por esses livros privilegiam resoluções algébricas, e poucos exigem raciocínio dedutivo ou demonstração. E ainda, quase não existe a passagem da geometria empírica para a geometria dedutiva, além de poucos trabalhos focarem a leitura e a interpretação de textos matemáticos. Essas abordagens criam no aluno concepções inadequadas no que diz respeito ao aprimoramento dos conceitos geométricos, (MANRIQUE, 2004).

De acordo com Pavanello citado por Nascimento ( SBEM, 2004 ):
Além de uma deficiência dos livros didáticos, outro fator importante é o tempo, ou seja, em algumas escolas o conteúdo geométrico é tratado apenas no final do livro didático e muitas vezes não dá tempo para ver o conteúdo, e quando sobra tempo, o mesmo não é visto completo e tem ficado relegado a um plano secundário.

Não podemos deixar de citar também que o desinteresse sobre a Matemática e a Geometria vem da falta de significados para o conteúdo que está sendo ensinado. Está faltando mostrar para que o aluno está estudando esse conteúdo, o que ele vai fazer com isso, onde irá aplicá-lo. Porque em muitos casos os alunos não têm dificuldades, mas sim um desinteresse, porque não consegue ligar a matéria ensinada a sua vida, ao seu mundo, não consegue usar a Matemática como uma ferramenta facilitadora e sim pensam na Matemática como um obstáculo.

A Geometria Aplicada: uma necessidade atual

A Geometria está sempre presente em nossas vidas, é só olharmos nosso cotidiano, sempre tem uma figura geométrica, um ângulo, uma área, um volume para ser calculado, uma medida para ser transformada, um espaço para ser inovado, e isso é possível com a ajuda da Geometria.

Sobre a importância da Geometria, Lorenzato ( 1995 ) diz que esta tem função essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática.

Conforme ( MAIA (b), 2000, p. 25 ), dizia: A busca da funcionalidade da Matemática é então uma das características da representação do professor, ou seja, dar uma função para o conteúdo que está sendo ensinado. Já Hershkowitz citado por Fainguelernt ( 1999, p. 51 ), dizia:

Sendo a Geometria um ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ela é um caminho para desenvolver o pensamento e a compreensão para alcançar o nível mais alto de uma teoria formal. Somente quando essa perspectiva é atingida, a noção de estrutura matemática faz sentido.

A Matemática só consegue alcançar o seu significado, o seu objetivo, quando conseguimos pegar sua teoria e transformá-la em um recurso, numa ferramenta para desenvolvimento social e pessoal, ou seja, a Geometria é um instrumento, um facilitador para que possamos entender alguns acontecimentos cotidianos.

Para tornar o ensino mais aplicado, mais acessível para o aluno, de forma que ele consiga usar a Matemática como uma ferramenta que irá ajudá-lo na sua caminhada, a linguagem desempenha um papel importante na constituição deste conhecimento. Freitas citado por Zuchi ( 2004, p. 49 ), dizia:

Ao mesmo tempo em que a linguagem é um fator importante para o desenvolvimento mental da criança, exercendo uma função organizadora e planejadora do seu pensamento, ela tem também uma função social e comunicativa. Por meio da linguagem a criança é exposta ao conhecimento humano e adquire conceitos sobre o mundo que a rodeia, apropriando-se da experiência acumulada pelo gênero humano no discurso da história social.

A linguagem do professor é importantíssima para a compreensão e desenvolvimento do aluno. Muitas vezes o aluno não consegue ter uma compreensão com o professor, por causa de uma linguagem muito científica, muito formal, mas ao pedir um auxílio ao colega de classe, este falando a linguagem simples, informal, consegue passar de forma clara e tirar a dúvida do mesmo. Na maioria dos casos é necessário que o professor atinja seus objetivos usando uma linguagem adequada ao aluno.

Tópicos elementares de Geometria

A geometria no Ensino Fundamental

A Geometria é construída a partir de três idéias: a idéia de ponto, de reta e de plano, ou seja, os conceitos primitivos. Os matemáticos aceitam essas idéias sem tentar explicá-las.

Segundo Bongiovanni et. al. ( 2002 ), podemos ter idéia de ponto observando marcas de lápis feitas no papel, estrelas no céu, grãos de areia, marca do penalty no campo de futebol, etc. Os pontos são indicados por letras maiúsculas.

Figura 1: Representação de ponto

Temos idéia de reta se imaginarmos um fio, sem começo nem fim, bem esticado. Uma reta é um conjunto de pontos infinitos, e é sempre representada por uma letra minúscula.

Figura 2: Representação de reta

Já quando existe um ponto de origem, pertencente a reta, ou seja, sabe-se onde começa a reta, mas não sabemos o fim, chamamos de semi-reta.

Figura 3: Representação de semi-reta

Agora, se considerarmos apenas um pedaço dessa reta, com origem e fim, teremos a idéia de segmento, ou seja, segmento de reta AB.

Figura 4: Representação de segmento de reta

Outro conceito primitivo é o plano, ou seja, se imaginarmos que é possível prolongar o tampo de uma mesa em todas as direções, teremos a idéia de plano. O campo de futebol é um plano, o chão da sala, sempre imaginando que sempre prolonga, não tem fim. Para traçar um plano é necessário pelo menos três pontos não alinhados. Podemos concluir também que dado um plano ?, nele existem infinitos pontos e infinitas retas pertencentes a este plano.

Figura 5: Representação de plano

Depois de conhecermos os conceitos primitivos, de ponto, de reta e de plano, já podemos entender os conceitos de figura geométrica.

Figura geométrica é qualquer conjunto de pontos. Uma figura geométrica é plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.

Um exemplo de figuras geométricas são os polígonos. Quando o contorno de uma curva fechada simples é constituído apenas de segmentos de retas consecutivos e não colineares, dizemos que a figura geométrica é um polígono.

Os polígonos podem ser classificados de acordo com o número de lados ou ângulos.

Tabela 1: Classificação dos polígonos

Fonte: SOMATEMÁTICA (2008)

Os polígonos mais comuns e que iremos explorar nesta pesquisa são os triângulos e os quadriláteros notáveis.

Segundo Dolce et al. (1993), os triângulos são classificados de acordo com os seus lados e de acordo com seus ângulos:

• Triângulo equilátero: se, e somente se, têm os três lados congruentes.

Figura 6: Triângulo equilátero

• Triângulo isósceles: se, e somente se, têm os dois lados congruentes.

Figura 7: Triângulo isósceles

• Triângulo escaleno: se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes

Figura 8: Triângulo escaleno

• Triângulo acutângulo: triângulo que possui todos os ângulos agudos, ou seja, todos os seus ângulos são menores que 90 graus.

Figura 9: Triângulo acutângulo

• Triângulo retângulo: triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um de seus ângulos mede 90 graus.

Figura 10: Triângulo retângulo

• Triângulo obtusângulo: triângulo que possui um ângulo obtuso, ou seja, um de seus ângulos tem medida maior que 90 graus.

Figura 11: Triângulo obtusângulo

Já os quadriláteros são polígonos simples de quatro lados. Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.

Trapézio é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui dois lados paralelos. Esses lados paralelos são as bases do trapézio. Se analisarmos os outros dois lados que não são as bases podemos classificar o trapézio em:

• Trapézio isósceles: se os outros dois lados forem congruentes.

Figura 12: Trapézio isósceles

• Trapézio escaleno: se os outros dois lados não forem congruentes.

Figura 13: Trapézio escaleno

• Trapézio retângulo ou bi-retângulo: quando tem dois ângulos retos.

Figura 14: Trapézio Retângulo

O paralelogramo é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.

Figura 15: Paralelogramo

O retângulo é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes.

Figura 16: Retângulo

O losango é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.

Figura 17: Losango

O quadrado é um quadrilátero plano convexo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.

Figura 18: Quadrado

Geometria X Futebol

Diante da necessidade de levar o conhecimento adquirido em sala de aula e aplicá-lo ao nosso dia-a-dia, temos que abusar da criatividade, inventar e falar a linguagem que o aluno consiga entender de forma fácil, prazerosa e interessante.

A Geometria é descrita como um corpo de conhecimentos fundamental para a compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual. Está presente no dia-a-dia como nas embalagens dos produtos, na arquitetura das casas e edifícios, na planta de terrenos, no artesanato e na tecelagem, nos campos de futebol e quadras de esporte, nas coreografias das danças e até na grafia das letras. Em inúmeras ocasiões, precisamos observar o espaço tridimensional como, por exemplo, na localização e na trajetória de objetos e na melhor ocupação de espaços ( FILLOS, 2006 ).

Geometria x Bola de Futebol

Se refletirmos um pouco sobre o principal instrumento para a realização de um jogo de futebol, ou seja, a bola, podemos observar que sua confecção é realizada através de várias figuras geométricas.

Segundo Morelli citado por Corrêa ( 2001, p. 35 ):

Antes, a vaquinha é que ia para o sacrifício. O couro de cada animal rendia seis bolas. Hoje as fábricas usam tiras de poliuretano, um tipo de plástico derivado do petróleo. O poliuretano é mais elástico do que o couro, tem espessura constante e não encharca tanto. Uma prensa especial corta o plástico em gomos de seis e cinco lados. Pegue uma bola e conte. São sempre trinta e dois pedaços ( vinte hexágonos e doze pentágonos ).

Figura 19: Bola de futebol de campo

"A esta figura formada de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais chama-se icosaedro truncado. O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes" ( FURUYA, 2002 ).

Figura 20: Icosaedro truncado

Os Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro ( WIKIPEDIA, 2007 ).

O Campo de futebol

Se observamos o campo de futebol podemos identificar nele várias figuras geométricas, vários ângulos, segmentos de retas, pontos, circunferências, raio, diâmetro, perímetro, áreas, diagonais, arco, podemos trabalhar com medidas e suas transformações, ou seja, metros e centímetros.

Você já calculou o perímetro de um campo de futebol, suas áreas, área do gol, a área do círculo central, seu diâmetro, a diagonal do campo, são alguns tópicos que iremos mostrar baseado na figura 21 e 22:

Figura 21: O campo e suas medidas oficiais

Segundo Silva ( 2004 ):

Um campo de futebol tem 110 m de comprimento e 75 m de largura, qual o seu perímetro, ou seja, a medida do contorno do campo?

Perímetro = 2 x ( b + h ) , onde, b = comprimento e h = largura
P = 110 m + 110 m + 75 m + 75 m = 2 x ( 110 m + 75 m )
P = 2 x ( 185 m )
P = 370 m
O perímetro é de 370 m.

Já sabemos que as dimensões do campo de futebol são 110 m x 75 m, vamos calcular agora sua área:

Área = Base x Altura ( A = b.h ), onde, b = comprimento e h = largura
Medidas do campo = 110 m x 75 m
A_{do campo} = 110 m x 75 m
A_{do campo} = 8.250 m²
O campo de futebol possui 8.250 m².

Sabendo que a área total do campo é 8.250 m², e nessa área estão 22 jogadores, vamos calcular a área equivalente a cada um desses 22 jogadores.

Campo = 8.250 m²
Números de jogadores = 22
A_{de cada jogador} = 8.250 m² / 22 (área total de 8.250 m² dividida por 22 jogadores)
A_{de cada jogador} = 375 m²
Cada jogador pode ocupar uma área de 375 m².

Agora iremos calcular a área que o goleiro tem que defender e o atacante tem para acertar e fazer o gol. As medidas das traves são 7,32 m de largura e 2,44 m de altura, conhecendo essas medidas podemos calcular a área que o goleiro tem que defender.

Área = b x h, onde, b = comprimento e h = largura
A_{do gol} = 7,32 m x 2,44 m
A_{do gol} = 17,86 m²

A área entre as traves é de 17,86 m², ou seja, o goleiro tem que defender uma área mais de 17 metros quadrados.

Como estamos calculando várias áreas, podemos calcular também a área da grande área onde o goleiro pode trabalhar com a mão. A grande área tem 16,5 m de comprimento e 40,3 m de largura, com esses dados podemos calcular a área que o goleiro tem para trabalhar com as mãos.

A_{da grande área} = b x h, onde, b = comprimento e h = largura
A_{da grande área} = 16,5 m x 40,3m
A_{da grande área} = 664,95 m²

Figura 22: Futebol e a geometria

Agora iremos calcular a área do círculo central. O diâmetro do círculo central é de 18,30 m, atribuindo a ? ( pi ) o valor de 3,14 calcule a área do círculo central:

Área do círculo central = ? x r², onde, ? = pi = 3,14 e r = raio
Diâmetro = 18,30 m e ? = 3,14
r = Diâmetro / 2 ? r = 18,30 / 2 ? r = 9,15 m
A_{do círculo central} = 3,14 x ( 9,15 m )²
A_{do círculo central} = 3,14 x 83,72 m²
A_{do círculo central} = 262,88 m²

O círculo central possui então uma área de 262,88 m².
2.5.3 O Futebol e os desenhos táticos

Nas figuras 23, 24 e 25 podemos observar várias figuras geométricas em diferentes esquemas táticos adotados pelos principais times brasileiros, seleções e times estrangeiros.

No esquema 3-5-2 ( 3 zagueiros, 5 jogadores de meio de campo e 2 atacantes ), esquema adotado pelo técnico da seleção brasileira de futebol Luiz Felipe Scolari na disputa pelo pentacampeonato no mundial de 2002, disputado no JAPÃO e na CORÉIA DO SUL.

Conforme a figura 23, esse esquema mostra o desenho tático formado por diversas figuras geométricas como: triângulos equiláteros, triângulos isósceles e quadriláteros. É bom deixar claro que essas figuras podem variar de treinador para treinador, dependendo da característica dos jogadores e dos treinadores, mas independente da característica, todos os esquemas táticos poderá ser ilustrado através de figuras geométricas.

Figura 23: Esquema tático 3-5-2

Já no esquema 4-4-2 ( 4 zagueiros, 4 jogadores de meio campo e 2 atacantes ), esquema adotado pelo técnico da seleção brasileira de futebol Carlos Alberto Parreira na disputa do tetracampeonato no mundial disputado nos Estados Unidos em 1994. Conforme a figura 24 abaixo esse esquema é formado por triângulo equilátero, trapézios, hexágono, quadrado e retângulo.

Figura 24: Esquema tático 4-4-2

O esquema 4-3-3 ( 4 zagueiros, 3 jogadores de meio de campo e 3 atacantes), um esquema muito ofensivo que os treinadores usam quando estão em desvantagem no placar ou precisam reverter algum resultado desfavorável. Este esquema foi muito utilizado no passado, quando a prioridade era o ataque, o futebol bonito, chamado futebol arte. Este esquema pode ser observado várias figuras geométricas como: triângulos equiláteros, triângulos isósceles, trapézios, hexágonos, quadrados e retângulos.

Figura 25: Esquema tático 4-3-3

2.5.4 Esquemas táticos de algumas equipes de futebol

O esquema WM.

Figura 26: Esquema WM ou 3-2-5, Inglaterra da década de 20

O esquema WM formado por três zagueiros, dois jogadores de meio campo mais defensivo, dois jogadores de meio campo mais ofensivo e três atacantes, foi criado na década de 20 pelo inglês Chapman e foi trazido para o Brasil através do técnico Dori Kruescher. Neste esquema de jogo fica bem claro a formação de dois trapézios isósceles e em cada trapézio visualizamos três triângulos equiláteros.

2.5.4.2 Suíça de 1938.

Figura 27: Esquema 4-1-5: Suíça de 1938

Também conhecido como Ferrolho Suíço, esquema com um zagueiro mais atrás, protegido por três zagueiros mais à frente, formando um triângulo isósceles, um jogador de meio campo mais recuado formando um triângulo equilátero e cinco atacantes formando também um triângulo isósceles. Foi um esquema inovador e surpreendente. E a base teórica deste esquema (marcação sobre pressão, meias/atacantes marcando os zagueiros fixo) é adotada até hoje.

O Vila Nova de 1951.

Figura 28: Esquema 4-2-4: Vila Nova de 1951

O 4-2-4 ( quatro zagueiros, dois jogadores de meio campo e quatro atacantes), foi criado com o intuito de diminuir a fragilidade defensiva do 2-3-5 e do WM. Neste esquema visualizamos um trapézio formado pelos jogadores da defesa e um paralelogramo formado pelos jogadores de ataque.

O Flamengo de 1954.

Figura 29: Esquema 2-3-5, Flamengo de 1954.

O primeiro esquema tático adotado no futebol moderno foi o 2-3-5. Não tinha muita preocupação ofensiva, jogavam com uma linha de 2 zagueiros, três homens de meio campo formando um triângulo equilátero, e cinco homens de ataque formando um trapézio.

A seleção brasileira de 1970.

Figura 30: Esquema 4-2-4, Seleção Brasileira de 1970

Apesar do 4-2-4, o time jogava posicionado muito recuado para a época, sempre buscando o contra-ataque. Os quatro jogadores de defesa formavam um trapézio, dois jogadores de meio campo e quatro atacantes formando um triângulo isósceles. É considerada uma das melhores seleções de todos os tempos e tinha no comando do ataque Édson Arantes do Nascimento (Pelé), um dos maiores jogadores do mundo.

O Esquema com o Líbero.

Figura 31: Esquema com o líbero

O líbero é responsável por proteger o gol, quando a defesa joga mais á frente, ele joga atrás do dois zagueiros. Neste esquema podemos observar um triângulo isósceles formado pelos jogadores de defesa e os alas, e no meio de campo outro triângulo isósceles.

O Barcelona de 1996.

Figura 32: Barcelona de 1996

O Barcelona de 1996, jogava no 3-4-3 ( 3 zagueiros, 4 jogadores de meio campo e 3 atacantes ). Os times europeus, no início dos anos 90, geralmente adotavam um esquema que concentrasse bastante jogadores no meio campo, como o 3-4-3 e o 3-5-2. Esses esquemas possibilitam, teoricamente, maior proteção à defesa e maior apoio ao ataque. Além disso o líbero sempre foi usado. No esquema do Barcelona podemos observar um triângulo isósceles formado pelos jogadores da defesa, um losango formado pelos jogadores de meio campo e no ataque outro triângulo isósceles.

O Ajax de 1996.

Figura 33: Ajax de 1996

O futebol mundial já parecia ter decretado o fim dos pontas ( jogadores que jogam abertos pelos lados do campo), já que era muito difícil achar jogadores tão versáteis para essa função. O Ajax reinventou esta formação e ganhou muitos títulos na década de 90. O Ajax jogava com uma linha (segmento de reta) com três zagueiros, três jogadores de meio campo e dois pontas abertos formando com isso um trapézio e dois atacantes se movimentando na frente.

O Mônaco de 1996.

Figura 34: Mônaco de 1996

O Mônaco adotou um 4-4-2 ( quatro zagueiros, quatros jogadores de meio campo e dois atacantes ) um pouco diferente. Jogavam com uma linha de quatro zagueiros atrás, no meio campo tinha outra linha de três jogadores formando assim um trapézio e no ataque dois jogadores se movimentavam com a ajuda de um quarto homem de meio campo , formando dois triângulos isósceles.

A Juventus de 1997.

Figura 35: Juventus de 1997

A equipe, quando atacada, defendia-se com os 3 zagueiros, formando um triângulo isósceles, juntamente com os dois laterais ou alas e os dois volantes formando um trapézio isósceles no meio campo. Já o ataque era formado por três jogadores formando assim um triângulo escaleno.

A Noruega de 1998.

Figura 36: Noruega de 1998

O técnico Egil Olsen mostrou sua equipe num 4-5-1, com o meio campo e a defesa jogando em linha, com essa formação podemos observar um retângulo formado pela linha de quatro zagueiros e pela linha de cinco jogadores de meio campo. Já o ataque só tinha um jogador que formava um triângulo isósceles com o meio campo.

METODOLOGIA

O presente trabalho foi realizado através de pesquisa bibliográfica.

Tal pesquisa foi feita em sites, livros, periódicos, artigos científicos, na biblioteca do Centro Universitário de Lavras (UNILAVRAS), na biblioteca pública municipal da cidade de Perdões / MG e em acervo particular.

Foi feita uma análise criteriosa do material selecionado.

O período de realização do trabalho foi de fevereiro de 2007 a junho de 2008.

CONSIDERAÇÕES GERAIS

Para mudarmos a visão dos alunos sobre a Matemática, considerada por eles uma disciplina chata, difícil, desinteressante, é preciso torná-la prazerosa, útil e interessante.
Segundo o grande desafio que nós, educadores matemáticos, encontramos é tornar a Matemática interessante, isto é, atrativa, relevante, isto é útil e atual, isto é, integrada no mundo de hoje.

Já FAINGUELERNT(2004), diz que a Educação Matemática que queremos é aquela que se estenda muito além dos muros da escola do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e do Ensino Superior.

Como podemos perceber ambos dizem que só conseguiremos alcançar o nosso objetivo de tornar a Matemática uma ciência gostosa e interessante quando torná-la aplicada, mostrando suas aplicações principalmente fora da escola, na vida real do aluno.

No caso específico da Geometria plana, por exemplo, esta enfrenta vários problemas que atrapalha o aprendizado do aluno. Segundo MANRIQUE (2004), alguns livros didáticos deixam a desejar pois os problemas geométricos propostos por estes, privilegiam resoluções algébricas, e poucos exigem raciocínio dedutivo ou demonstração. E ainda, quase não existe a passagem da Geometria empírica ( Geometria de experiências, observações ), para a Geometria dedutiva, além de poucos trabalhos focarem a leitura e a interpretação de textos matemáticos. Pavanello citado por Nascimento (2004), vai além, dizendo que outro fator importante é o tempo, ou seja, em algumas escolas o conteúdo geométrico é tratado apenas no final do livro didático e muitas vezes não dá tempo para ver o conteúdo, e quando sobra tempo, o mesmo não é visto completo e tem ficado relegado a um plano secundário.

Uma forma de se melhorar esta questão do tempo é intercalar as aulas de Geometria com as de Matemática, não deixando a Geometria para o final do ano. Como vimos existem vários fatores que atrapalham o aprendizado do aluno e contribuem para que ele se afaste cada vez mais da Geometria. Mas existem meios para revertemos esse quadro, principalmente mostrando a importância da Geometria e isso é possível com criatividade.

Lorenzato (1995) diz que a Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática. Já Hershkowitz citado por Fainguelernt (1999), diz que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ou seja, a Geometria é a ponte, a ligação do conteúdo teórico e o conteúdo prático.

Podemos considerar também que a Geometria está sempre presente em nossas vidas, é só olharmos nosso cotidiano, sempre tem uma figura geométrica, um ângulo, uma área, um volume para ser calculado, uma medida para ser transformada e um espaço para ser inovado. Isso é possível com a ajuda da Geometria.

Para tornar o ensino mais aplicado, mais acessível para o aluno, de forma que ele consiga usar a Matemática e a Geometria como uma ferramenta que irá ajudá-lo na sua caminhada, a linguagem desempenha um papel importante na constituição deste conhecimento. Freitas citado por Zuchi (2004), diz que ao mesmo tempo em que a linguagem é um fator importante para o desenvolvimento mental da criança, exercendo uma função organizadora e planejadora do seu pensamento, ela tem também uma função social e comunicativa.

Pois muitas vezes o professor falando uma linguagem muito científica não consegue passar a informação para o aluno, já o colega de classe, às vezes falando uma linguagem mais simples, consegue lhe transmitir o que o professor desejava.
Nosso objetivo é mostrar uma Geometria mais aplicada, mais prática, mostrando que se pode ensinar Geometria plana em parceria com um esporte que é paixão nacional, o futebol.

Segundo (FILLOS, 2006), a Geometria está em todos os lugares, principalmente nos campos e nas quadras de futebol. Já Morelli citado por Corrêa (2001), fala sobre a Geometria da bola e seu formato, formada por um icosaedro truncado. Silva ( 2004 ), fala sobre a Geometria aplicada no campo de futebol e algumas curiosidades interessantes, como área do campo de jogo, área do círculo central, as figuras geométricas encontradas no campo, e ainda mostra vários esquemas de times de todo o mundo e as figuras geométricas formadas por estes esquemas.

Como podemos observar os três autores falam dos conceitos matemáticos aplicados ao futebol e algumas curiosidades, que muitas vezes não notamos. Deste modo podemos tornar o ensino da Matemática, ou seja, da Geometria mais atraente, mais útil, mais interessante e instigante ao aluno. Aprendendo Geometria e ao mesmo tempo descobrindo os encantos de um esporte que é a paixão da maioria dos brasileiros.

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